ดังนั้นส่วนของหน่วยและส่วนที่สิบ ร้อย และอื่นๆ ทำให้เราไปถึงจุดของเส้นพิกัด ซึ่งจะสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย (ดังในตัวอย่างที่แล้ว) อย่างไรก็ตาม มีจุดบนเส้นพิกัดที่เราไม่สามารถไปถึงได้ แต่สามารถเข้าใกล้ได้มากเท่าที่เราต้องการ โดยใช้ทุกอย่างที่เล็กกว่าและเล็กกว่าจนถึงเศษส่วนเล็กๆ อย่างอนันต์ของส่วนของหน่วย จุดเหล่านี้สอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมที่เป็นคาบและไม่ใช่คาบ นี่คือตัวอย่างบางส่วน. หนึ่งในจุดเหล่านี้บนเส้นพิกัดสอดคล้องกับหมายเลข 3.711711711 ... = 3, (711) ในการเข้าใกล้จุดนี้ คุณต้องเลื่อน 3 ส่วนหน่วย, 7 ในสิบของมัน, 1 ในร้อย, 1 ในพัน, 7 หมื่น, 1 แสน, 1 ล้านของส่วนของหน่วย, และอื่นๆ และอีกหนึ่งจุดของเส้นพิกัดสอดคล้องกับ pi (π = 3.141592 ...)

เนื่องจากองค์ประกอบของเซตของจำนวนจริงเป็นตัวเลขทั้งหมดที่สามารถเขียนในรูปของเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดและไม่จำกัด ข้อมูลทั้งหมดที่นำเสนอในย่อหน้านี้ช่วยให้เรายืนยันว่าเราได้กำหนดจำนวนจริงเฉพาะให้กับแต่ละจุดของ เส้นพิกัด ขณะที่เป็นที่ชัดเจนว่า จุดต่าง ๆ สอดคล้องกับจำนวนจริงต่างกัน

ค่อนข้างชัดเจนว่าการติดต่อนี้เป็นแบบตัวต่อตัว นั่นคือ เราสามารถใส่จำนวนจริงในการติดต่อกับจุดที่ระบุบนเส้นพิกัด แต่สำหรับจำนวนจริงที่กำหนด เราสามารถระบุจุดเฉพาะบนเส้นพิกัดที่จำนวนจริงนี้สอดคล้องกันสำหรับจำนวนจริงที่กำหนด ในการทำเช่นนี้เราจะต้องเลื่อนจำนวนส่วนของหน่วยหนึ่งไปในทิศทางที่ต้องการเช่นเดียวกับส่วนที่สิบส่วนร้อยและอื่น ๆ เศษส่วนของส่วนของหน่วย ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 703.405 ตรงกับจุดบนเส้นพิกัดซึ่งสามารถเข้าถึงได้จากจุดเริ่มต้นโดยการเลื่อนไปในทิศทางบวก 703 ส่วนหน่วย, 4 ส่วนที่รวมกันเป็นสิบของหน่วย และ 5 ส่วนที่ประกอบขึ้นเป็น หนึ่งในพันของหน่วย

ดังนั้น แต่ละจุดบนเส้นพิกัดจะสัมพันธ์กับจำนวนจริง และจำนวนจริงแต่ละจำนวนมีตำแหน่งในรูปของจุดบนเส้นพิกัด นั่นคือเหตุผลที่เส้นพิกัดมักถูกเรียกว่า เส้นจำนวน.

พิกัดของจุดบนเส้นพิกัด

ตัวเลขที่ตรงกับจุดบนเส้นพิกัดเรียกว่า พิกัดของจุดนี้.

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เรากล่าวว่าจำนวนจริงแต่ละจำนวนตรงกับจุดเดียวบนเส้นพิกัด ดังนั้น พิกัดของจุดจะกำหนดตำแหน่งของจุดนี้บนเส้นพิกัดโดยไม่ซ้ำกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดจะกำหนดจุดนี้บนเส้นพิกัดโดยไม่ซ้ำกัน ในทางกลับกัน แต่ละจุดบนเส้นพิกัดจะสัมพันธ์กับจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียว - พิกัดของจุดนี้

มันยังคงเป็นเพียงการพูดถึงการกำหนดที่รับมา พิกัดของจุดเขียนอยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของตัวอักษรที่แสดงถึงจุดนั้น ตัวอย่างเช่น หากจุด M มีพิกัด -6 คุณสามารถเขียน M (-6) และบันทึกของแบบฟอร์มหมายความว่าจุด M บนเส้นพิกัดมีพิกัด

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I. , Chesnokov A.S. , Shvartburd S.I. คณิตศาสตร์: ตำราเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 สถาบันการศึกษา.
• Vilenkin N. ยา และคณิตศาสตร์อื่นๆ ป.6 ตำราเรียนสำหรับสถานศึกษา
• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับเกรด 8 สถาบันการศึกษา.

ในบทเรียนนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของเส้นพิกัด โดยจะแสดงลักษณะและคุณสมบัติหลักของมัน เราจะกำหนดและเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาหลัก มาแก้ปัญหาสองสามตัวอย่างเกี่ยวกับการรวมกันของงานเหล่านี้

จากหลักสูตรในเรขาคณิต เรารู้ว่าเส้นตรงคืออะไร แต่สิ่งที่ต้องทำด้วยเส้นตรงธรรมดาเพื่อให้เป็นเส้นตรง

1) เลือกจุดเริ่มต้น;

2) เลือกทิศทาง;

3) เลือกมาตราส่วน;

รูปที่ 1 แสดงเส้นตรงธรรมดา และ รูปที่ 2 - เส้นพิกัด

เส้นพิกัดเป็นเส้นตรงดังกล่าว l ซึ่งเลือกจุดเริ่มต้น O - จุดกำเนิด มาตราส่วนคือส่วนของหน่วย นั่นคือ ส่วนดังกล่าว ความยาวเท่ากับหนึ่ง และทิศทางบวก .

เส้นพิกัดเรียกอีกอย่างว่าแกนพิกัดหรือแกน X

ให้เราหาสาเหตุที่ต้องใช้เส้นพิกัด สำหรับสิ่งนี้เรากำหนดคุณสมบัติหลักของมัน เส้นพิกัดสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของตัวเลขทั้งหมดและเซตของจุดทั้งหมดในบรรทัดนี้ นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

ให้ตัวเลขสองตัว: (เครื่องหมาย "+" โมดูลัสคือสาม) และ (เครื่องหมาย "-" โมดูลัสคือสาม) มาแทนตัวเลขเหล่านี้บนเส้นพิกัดกัน:

ที่นี่หมายเลขเรียกว่าพิกัด A หมายเลขเรียกว่าพิกัด B

พวกเขายังบอกด้วยว่ารูปภาพของตัวเลขคือจุด C พร้อมพิกัด และรูปภาพของตัวเลขคือจุด D พร้อมพิกัด:

ดังนั้น เนื่องจากคุณสมบัติหลักของเส้นพิกัดคือการสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดและตัวเลข จึงมีงานหลักสองประการเกิดขึ้น: ระบุจุดที่หมายเลขที่กำหนด เราได้ทำไปแล้วข้างต้น และระบุตัวเลข ณ จุดที่กำหนด ลองพิจารณาตัวอย่างของงานที่สอง:

ให้จุด M ถูกกำหนด:

ในการกำหนดจำนวนที่จุดที่กำหนด คุณต้องกำหนดระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงจุดก่อน ในกรณีนี้ ระยะทางคือสอง ตอนนี้คุณต้องกำหนดเครื่องหมายของตัวเลขนั่นคือรังสีของจุดเส้น M อยู่ ในกรณีนี้จุดอยู่ทางด้านขวาของแหล่งกำเนิดในรังสีบวกดังนั้นตัวเลขจะมี " +" เซ็น.

ใช้อีกจุดหนึ่งและใช้เพื่อกำหนดจำนวน:

ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้า เท่ากับสอง แต่ในกรณีนี้ จุดอยู่ทางด้านซ้ายของจุดกำเนิดบนรังสีลบ ซึ่งหมายถึง จุด N กำหนดลักษณะตัวเลข

ปัญหาทั่วไปทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับเส้นพิกัดนั้นไม่ทางใดก็ทางหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติหลักและปัญหาหลักสองข้อที่เรากำหนดและแก้ไข

งานทั่วไป ได้แก่ :

-สามารถวางจุดและพิกัดได้;

-เข้าใจการเปรียบเทียบตัวเลข:

นิพจน์หมายความว่าจุด C ที่มีพิกัด 4 อยู่ทางด้านขวาของจุด M พร้อมพิกัด 2:

และในทางกลับกัน หากเราได้รับตำแหน่งของจุดบนเส้นพิกัด เราต้องเข้าใจว่าพิกัดของพวกมันสัมพันธ์กันด้วยอัตราส่วนที่แน่นอน:

ให้จุด M (x M) และ N (x N):

เราจะเห็นว่าจุด M อยู่ทางด้านขวาของจุด n ซึ่งหมายความว่าพิกัดนั้นสัมพันธ์กันเป็น

-การกำหนดระยะห่างระหว่างจุด.

เรารู้ว่าระยะห่างระหว่างจุด X และ A เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข ให้สองคะแนน:

จากนั้นระยะห่างระหว่างพวกเขาจะเท่ากับ:

อีกงานที่สำคัญมากคือ คำอธิบายทางเรขาคณิตของชุดตัวเลข.

พิจารณารังสีที่อยู่บนแกนพิกัด ไม่รวมจุดกำเนิด แต่รวมจุดอื่นๆ ทั้งหมด:

ดังนั้นเราจึงมีชุดของจุดที่อยู่บนแกนพิกัด มาอธิบายเซตของตัวเลขที่ถูกกำหนดโดยชุดของคะแนนที่ให้มา มีตัวเลขและจุดนับไม่ถ้วน ดังนั้นรายการนี้จึงมีลักษณะดังนี้:

ให้เราอธิบาย: ในรูปแบบที่สองของสัญกรณ์ หากคุณใส่วงเล็บ "(" ดังนั้นจำนวนสุดขั้ว - ในกรณีนี้ หมายเลข 3 จะไม่รวมอยู่ในชุด แต่ถ้าคุณใส่วงเล็บเหลี่ยม "[ " จากนั้นจำนวนสุดขีดจะรวมอยู่ในชุด

ดังนั้นเราจึงได้เขียนชุดตัวเลขเชิงวิเคราะห์ที่แสดงถึงชุดของคะแนนที่กำหนด สัญกรณ์วิเคราะห์อย่างที่เรากล่าวไว้นั้นดำเนินการในรูปของความไม่เท่าเทียมกันหรือในรูปแบบของช่องว่าง

หลายคะแนนได้รับ:

ในกรณีนี้ จุด a = 3 จะรวมอยู่ในเซต ให้เราอธิบายการวิเคราะห์ชุดของตัวเลข:

โปรดทราบว่าหลังหรือก่อนเครื่องหมายอนันต์ วงเล็บจะใส่วงเล็บเสมอ เนื่องจากเราจะไม่มีวันถึงอนันต์ และรอบๆ ตัวเลขอาจมีวงเล็บหรือสี่เหลี่ยมก็ได้ ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหา

ลองพิจารณาตัวอย่างของปัญหาผกผัน

เส้นพิกัดจะได้รับ วาดชุดของคะแนนที่สอดคล้องกับชุดตัวเลขและ:

เส้นพิกัดกำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดใดๆ กับตัวเลข และด้วยเหตุนี้ระหว่างชุดตัวเลขและชุดของจุด เราพิจารณารังสีที่พุ่งไปในทิศทางทั้งบวกและลบ รวมทั้งจุดยอดและไม่รวมมัน ทีนี้มาดูส่วนของเส้นตรงกัน

ตัวอย่างที่ 10:

ให้ตัวเลขมากมาย วาดชุดจุดที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 11:

ให้ตัวเลขมากมาย แสดงหลายจุด:

บางครั้ง เพื่อแสดงว่าส่วนปลายของเซ็กเมนต์ไม่รวมอยู่ในเซ็ต มีการวาดลูกศร:

ตัวอย่างที่ 12:

มีการกำหนดหมายเลขชุด สร้างแบบจำลองทางเรขาคณิต:

ค้นหาจำนวนที่น้อยที่สุดในช่วง:

ค้นหาจำนวนที่มากที่สุดในช่วง หากมี:

เราสามารถลบจำนวนน้อยตามอำเภอใจจากแปดแล้วบอกว่าผลลัพธ์จะเป็นจำนวนที่มากที่สุด แต่ในทันที เราจะพบจำนวนที่น้อยกว่านั้นและผลลัพธ์ของการลบจะเพิ่มขึ้นจนไม่สามารถหาจำนวนที่มากที่สุดใน ช่วงนี้.

ให้ใส่ใจกับข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะหาตัวเลขที่ใกล้ที่สุดกับตัวเลขใดๆ บนเส้นพิกัด เพราะจะมีตัวเลขที่ใกล้เคียงกว่าเสมอ

มีตัวเลขธรรมชาติกี่ตัวในช่วงเวลาที่กำหนด?

มาเลือกจำนวนธรรมชาติต่อไปนี้จากช่วงเวลา: 4, 5, 6, 7 - ตัวเลขธรรมชาติสี่ตัว

จำได้ว่าจำนวนธรรมชาติเป็นตัวเลขที่ใช้สำหรับการนับ

เอาอีกชุดครับ

ตัวอย่างที่ 13:

ชุดเลขชุด

สร้างแบบจำลองทางเรขาคณิต:

ดู วิดีโอสอนฟรีทางช่อง Hedgehog Got it.

บทเรียนวิดีโอในช่อง Yozhiku ที่ฉันเห็น ติดตาม!

พิกัดสาย เรียกว่าเส้นตรงโดยเลือกจุดกำเนิด (ศูนย์) ไว้ ส่วนหน่วยและทิศทาง จำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนสามารถเชื่อมโยงกับจุดเดียวบนเส้นพิกัด

เพื่อเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวที่อยู่บนเส้นพิกัด คุณต้องให้ความสนใจว่าตัวเลขเหล่านี้อยู่สัมพันธ์กันอย่างไร

หากหมายเลข a อยู่ทางด้านซ้ายของหมายเลข b แล้ว a< b

หากหมายเลข a อยู่ทางด้านขวาของหมายเลข b แล้ว a> b

ใน OGE มีงานหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งของตัวเลขบนเส้นพิกัด เพื่อที่จะเริ่มแก้ตัวอย่าง เรามาจำแนวคิดเพิ่มเติมกัน

ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข

| a | = (a, a> 0 0, a = 0 - a, a< 0

โมดูลลบสัญญาณจากตัวเลข

ถ้าตัวเลข เชิงบวก

ถ้าตัวเลข เท่ากับศูนย์จากนั้นเมื่อนำค่าสัมบูรณ์ของศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์

ถ้าตัวเลข เชิงลบ จากนั้นเมื่อนำโมดูลัสของตัวเลขนี้ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวก

ตัวอย่าง:

| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .

แน่นอนคุณสงสัยว่าทำไมในสูตรการขยายโมดูล | a | = - a ถ้า a< 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.

เพื่อตอบคำถามนี้ ลองคิดดูว่าจะเอาเครื่องหมายลบออกจากจำนวนลบได้อย่างไร หากจำนวนลบคูณด้วย - 1 ก็จะกลายเป็นบวก

ตัวอย่าง:

| − 1 | = − (− 1) = 1

หัวข้อบทเรียน:

« พิกัดสาย»

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

แนะนำนักเรียนให้รู้จักเส้นพิกัดและตัวเลขติดลบ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

หลักสูตร : แนะนำนักเรียนให้รู้จักเส้นพิกัดและตัวเลขติดลบ

การพัฒนา: การพัฒนาการคิดเชิงตรรกะ การขยายขอบเขตอันไกลโพ้น

ทางการศึกษา: การพัฒนาความสนใจทางปัญญา, การศึกษาวัฒนธรรมสารสนเทศ

แผนการเรียน:

ช่วงเวลาขององค์กรการทดสอบนักเรียนและความพร้อมในบทเรียน

อัพเดทความรู้พื้นฐานคำถามปากเปล่าของนักเรียนในหัวข้อที่ครอบคลุม

คำอธิบายของวัสดุใหม่

4. การรวมวัสดุที่ศึกษา.

5. สรุป.สรุปสิ่งที่ได้เรียนรู้ในบทเรียน คำถามของนักเรียน

6. บทสรุปสรุปประเด็นหลักของบทเรียน การประเมินความรู้ การทำเครื่องหมาย

7. การบ้าน... งานอิสระของนักเรียนด้วยสื่อการเรียน

อุปกรณ์ : ชอล์ค,กระดานสไลด์

แผนเค้าร่างโดยละเอียด

ชื่อเวทีและเนื้อหา

กิจกรรม

กิจกรรม

ลูกศิษย์

เวที I

ช่วงเวลาขององค์กร ทักทาย.

กรอกวารสาร.

สวัสดี หัวหน้าชั้นเรียนให้รายชื่อผู้ไม่อยู่

ทักทาย

ครู

ครั้งที่สอง เวที

อัพเดทความรู้พื้นฐาน

Pythagoras นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณกล่าวว่า "ตัวเลขครองโลก" เราอาศัยอยู่ในโลกของตัวเลข และในช่วงปีการศึกษา เราเรียนรู้ที่จะทำงานกับตัวเลขต่างๆ

1 ตัวเลขอะไรที่เรารู้อยู่แล้วสำหรับบทเรียนวันนี้?

2 ตัวเลขเหล่านี้ช่วยเราแก้ปัญหาอะไรได้บ้าง?

วันนี้เราหันไปที่การศึกษาบทที่สองของหนังสือเรียน "จำนวนตรรกยะ" ซึ่งเราจะขยายความรู้เกี่ยวกับตัวเลขและหลังจากศึกษาทั้งบท "จำนวนตรรกยะ" เราจะเรียนรู้วิธีการดำเนินการทั้งหมดที่คุณรู้จักกับพวกเขา และเริ่มต้นด้วยหัวข้อของเส้นพิกัด

1.เศษส่วนธรรมชาติ เศษส่วน ทศนิยม

2.การบวก ลบ คูณ หาร หาเศษส่วนของตัวเลขและตัวเลขด้วยเศษส่วนของมัน แก้สมการและปัญหาต่างๆ

ด่าน III

คำอธิบายของวัสดุใหม่

ลากเส้นตรง AB และแยกมันด้วยจุด O เป็นรังสีเพิ่มเติมสองเส้น - OA และ OB ลองเลือกส่วนของหน่วยบนเส้นตรงแล้วหาจุด O เป็นจุดกำเนิดและทิศทาง

คำจำกัดความ:

เส้นตรงที่เลือกจุดอ้างอิง ส่วนหน่วย และทิศทางเรียกว่าเส้นพิกัด

ตัวเลขที่ระบุตำแหน่งของจุดบนเส้นตรงเรียกว่าพิกัดของจุดนั้น

วิธีการวาดเส้นพิกัด?

ใช้เส้นตรง

ตั้งสายหน่วย

ระบุทิศทาง

เส้นพิกัดสามารถแสดงได้หลายวิธี ทั้งแนวนอน แนวตั้ง และมุมอื่นๆ ของเส้นขอบฟ้า และมีจุดเริ่มต้นแต่ไม่มีจุดสิ้นสุด

แบบฝึกหัดที่ 1 ข้อใดต่อไปนี้ไม่ประสานกัน (สไลด์)

ลองวาดเส้นพิกัด ทำเครื่องหมายจุดกำเนิด ส่วนของหน่วย และตั้งค่าจุด 1,2,3,4 ไปทางซ้ายและขวา เป็นต้น

ลองดูเส้นพิกัดที่ได้ ทำไมเส้นตรงถึงไม่สะดวก?

ทิศทางทางด้านขวาของจุดเริ่มต้นเรียกว่าค่าบวก และทิศทางบนเส้นตรงจะแสดงด้วยลูกศร ตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวาของจุด O เรียกว่าค่าบวก ตัวเลขติดลบจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุด O และทิศทางไปทางซ้ายของจุด O เรียกว่าค่าลบ (ไม่ได้ระบุทิศทางเชิงลบ) หากเส้นพิกัดอยู่ในแนวตั้ง ให้อยู่เหนือจุดเริ่มต้น - ตัวเลขบวก ด้านล่างจากจุดกำเนิด - ค่าลบ ตัวเลขติดลบเขียนด้วยเครื่องหมาย "-" พวกเขาอ่านว่า: "ลบหนึ่ง", "ลบสอง", "ลบสาม" ฯลฯ หมายเลข 0 - ต้นกำเนิดไม่เป็นบวกหรือลบ มันแยกจำนวนบวกออกจากจำนวนลบ

การแก้สมการและแนวคิดของ "หนี้" ในการคำนวณทางการค้าทำให้เกิดตัวเลขติดลบ

ตัวเลขติดลบปรากฏช้ากว่าจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนธรรมดามาก ข้อมูลแรกเกี่ยวกับตัวเลขติดลบพบได้ในนักคณิตศาสตร์ชาวจีนในศตวรรษที่ 2 BC อี ตัวเลขบวกถูกตีความว่าเป็นทรัพย์สิน และตัวเลขติดลบเป็นหนี้ การขาดแคลน ในยุโรป การรับรู้เกิดขึ้นหนึ่งพันปีต่อมา และถึงกระนั้น ก็ยังเรียกตัวเลขติดลบมาเป็นเวลานานว่า "เท็จ" "จินตภาพ" หรือ "ไร้สาระ" ในศตวรรษที่ 17 ตัวเลขติดลบได้รับการแสดงทางเรขาคณิตที่มองเห็นได้บนแกนตัวเลข

คุณยังสามารถยกตัวอย่างของเส้นพิกัด: เทอร์โมมิเตอร์ การเปรียบเทียบยอดเขาและร่องน้ำ (ระดับน้ำทะเลเท่ากับศูนย์) ระยะทางบนแผนที่ เพลาลิฟต์ บ้าน เครน

คิดคุณรู้ตัวอย่างอื่น ๆ ของเส้นพิกัดหรือไม่?

งาน

ภารกิจที่ 2 ตั้งชื่อพิกัดของจุด

งานที่ 3 วาดจุดบนเส้นพิกัด

Quest4 ... ลากเส้นแนวนอนและทำเครื่องหมายจุด O บนเส้นนั้น ทำเครื่องหมายจุด A, B, C, K บนเส้นนี้ ถ้าคุณรู้ว่า:

A คือ 9 เซลล์ทางด้านขวาของ O;

B ทางด้านซ้ายของ O 6.5 เซลล์;

C คือ 3½ เซลล์ทางด้านขวาของ O;

K ทางด้านซ้ายของ O 3 เซลล์ .

เขียนลงในบันทึกย่อสนับสนุน

พวกเขาฟังเสริม

พวกเขาทำงานให้เสร็จในสมุดบันทึกแล้วอธิบายคำตอบออกมาดัง ๆ

วาดทำเครื่องหมายที่มาของส่วนของหน่วย

เส้นตรงดังกล่าวไม่สะดวกเพราะจำนวนเดียวกันตรงกับ 2 จุดบนเส้นตรง

ประวัติศาสตร์ก่อนยุคของเราและยุคของเรา

ระยะที่สี่

การรวมวัสดุที่ศึกษา

1.เส้นพิกัดคืออะไร?

2.จะสร้างเส้นพิกัดได้อย่างไร?

1.เส้นตรงที่เลือกจุดกำเนิด ส่วนหน่วย และทิศทางเรียกว่า เส้นพิกัด

2) ลากเส้นตรง

ทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้นบนมัน

ตั้งสายหน่วย

ระบุทิศทาง

สเตจวี

สรุป

วันนี้เราได้เรียนรู้อะไรใหม่บ้าง?

เส้นพิกัดและจำนวนลบ

เวที VI

การประเมินความรู้ การทำเครื่องหมาย

การบ้าน.

สร้างคำถามในหัวข้อที่ครอบคลุม (รู้คำตอบ)

พูดง่ายๆ ก็คือ ผักที่ปรุงในน้ำตามสูตรพิเศษ ฉันจะพิจารณาสององค์ประกอบเริ่มต้น (สลัดผักและน้ำ) และผลลัพธ์ที่ได้คือ Borscht ในเชิงเรขาคณิต อาจมองว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยด้านหนึ่งแทนผักกาดหอมและอีกด้านหนึ่งแทนน้ำ ผลรวมของทั้งสองฝ่ายนี้จะเป็นตัวแทนของ Borscht เส้นทแยงมุมและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า "บอร์ชท์" เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ และไม่เคยใช้ในสูตรบอร์ชท์

คุณจะไม่พบอะไรเกี่ยวกับฟังก์ชันมุมเชิงเส้นในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ แต่หากไม่มีพวกเขา ก็ไม่มีคณิตศาสตร์ กฎของคณิตศาสตร์ก็เหมือนกับกฎของธรรมชาติ ไม่ว่าเราจะรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของมันหรือไม่ก็ตาม

ฟังก์ชันมุมเชิงเส้นเป็นกฎการบวกดูว่าพีชคณิตเปลี่ยนเป็นเรขาคณิตได้อย่างไร และเรขาคณิตเปลี่ยนเป็นตรีโกณมิติได้อย่างไร

สามารถใช้ฟังก์ชันมุมเชิงเส้นได้หรือไม่ คุณสามารถทำได้เพราะนักคณิตศาสตร์ยังคงทำโดยไม่มีพวกเขา เคล็ดลับของนักคณิตศาสตร์อยู่ที่การที่พวกเขามักจะบอกเราเกี่ยวกับปัญหาที่พวกเขารู้วิธีแก้ปัญหาเท่านั้น และไม่เคยพูดถึงปัญหาที่พวกเขาแก้ไม่ได้ ดู. ถ้าเราทราบผลลัพธ์ของการบวกและเทอมหนึ่ง เราจะใช้การลบเพื่อหาอีกเทอมหนึ่ง ทุกอย่าง. เราไม่รู้งานอื่นและไม่สามารถแก้ไขได้ จะทำอย่างไรถ้าเรารู้เพียงผลลัพธ์ของการบวกและไม่รู้ทั้งสองคำ? ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ของการบวกจะต้องถูกแบ่งออกเป็นสองพจน์โดยใช้ฟังก์ชันมุมเชิงเส้น จากนั้น เราเองก็เลือกว่าเทอมหนึ่งสามารถเป็นเท่าใด และฟังก์ชันมุมเชิงเส้นแสดงว่าเทอมที่สองควรเป็นเท่าใด เพื่อให้ผลลัพธ์ของการบวกคือสิ่งที่เราต้องการอย่างแท้จริง สามารถมีจำนวนคู่ของเงื่อนไขดังกล่าวได้เป็นอนันต์ ในชีวิตประจำวันเราจัดการได้อย่างสมบูรณ์แบบโดยไม่ต้องสลายผลรวม การลบก็เพียงพอแล้วสำหรับเรา แต่ในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับกฎแห่งธรรมชาติ การสลายตัวของผลรวมเป็นเงื่อนไขนั้นมีประโยชน์มาก

กฎการบวกอีกข้อหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ไม่ชอบพูดถึง (เคล็ดลับอีกอย่างของพวกเขา) กำหนดให้เงื่อนไขมีหน่วยวัดเหมือนกัน สำหรับสลัด น้ำ และบอร์ช สิ่งเหล่านี้สามารถเป็นหน่วยวัดสำหรับน้ำหนัก ปริมาตร ค่า หรือหน่วยวัด

รูปแสดงความแตกต่างสองระดับสำหรับคณิตศาสตร์ ระดับแรกคือความแตกต่างในด้านตัวเลขซึ่งระบุไว้ เอ, ข, ค... นี่คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ ระดับที่สองคือความแตกต่างในพื้นที่ของหน่วยซึ่งแสดงในวงเล็บเหลี่ยมและระบุด้วยตัวอักษร ยู... นี่คือสิ่งที่นักฟิสิกส์ทำ เราสามารถเข้าใจระดับที่สาม - ความแตกต่างในพื้นที่ของวัตถุที่อธิบายไว้ วัตถุที่ต่างกันสามารถมีจำนวนหน่วยวัดที่เหมือนกันได้เท่ากัน เรื่องนี้สำคัญแค่ไหน เราสามารถเห็นได้จากตัวอย่างตรีโกณมิติ Borscht หากเราเพิ่มตัวห้อยลงในการกำหนดหน่วยการวัดของวัตถุที่แตกต่างกัน เราสามารถพูดได้อย่างชัดเจนว่าค่าทางคณิตศาสตร์ใดอธิบายวัตถุนั้น ๆ และการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไปหรือเกี่ยวข้องกับการกระทำของเราอย่างไร โดยจดหมาย Wฉันจะกำหนดน้ำด้วยตัวอักษร สฉันจะกำหนดสลัดและตัวอักษร บี- บอร์ช นี่คือลักษณะฟังก์ชันเชิงมุมเชิงเส้นของบอร์ช

ถ้าเรานำส่วนหนึ่งของน้ำและบางส่วนของสลัดมารวมกันพวกเขาจะกลายเป็นส่วนหนึ่งของ Borscht ที่นี่ฉันแนะนำให้คุณหยุดพักจาก Borscht และระลึกถึงวัยเด็กอันห่างไกลของคุณ จำได้ไหมว่าเราถูกสอนให้รวมกระต่ายกับเป็ดเข้าด้วยกันได้อย่างไร? จำเป็นต้องค้นหาว่าจะมีสัตว์กี่ตัว แล้วเราถูกสอนให้ทำอะไร? เราถูกสอนให้แยกหน่วยจากตัวเลขและบวกตัวเลข ใช่ คุณสามารถเพิ่มหมายเลขใดๆ ลงในหมายเลขอื่นได้ นี่เป็นเส้นทางตรงสู่ความหมกหมุ่นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ - เรากำลังทำอะไรอยู่ ไม่ชัดเจนว่าอะไร ไม่ชัดเจนว่าทำไม และเราไม่ค่อยเข้าใจว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความเป็นจริงอย่างไร เนื่องจากความแตกต่างสามระดับ คณิตศาสตร์ดำเนินการเพียงระดับเดียว . การเรียนรู้วิธีเปลี่ยนจากหน่วยวัดหนึ่งไปยังอีกหน่วยหนึ่งจะถูกต้องมากขึ้น

และกระต่าย เป็ด และสัตว์สามารถนับเป็นชิ้น ๆ ได้ หน่วยวัดทั่วไปหนึ่งหน่วยสำหรับวัตถุต่างๆ ช่วยให้เรารวมเข้าด้วยกันได้ นี่เป็นปัญหารุ่นเด็ก ลองดูปัญหาที่คล้ายกันสำหรับผู้ใหญ่ จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณเพิ่มกระต่ายและเงิน มีวิธีแก้ไขที่เป็นไปได้สองวิธีที่นี่

ตัวเลือกแรก... เรากำหนดมูลค่าตลาดของกระต่ายและเพิ่มเข้าไปในจำนวนเงินที่มีอยู่ เราได้รับมูลค่ารวมของความมั่งคั่งของเราเป็นเงิน

ตัวเลือกที่สอง... คุณสามารถเพิ่มจำนวนกระต่ายในจำนวนธนบัตรที่เรามีได้ เราจะได้รับจำนวนสังหาริมทรัพย์เป็นชิ้นๆ

อย่างที่คุณเห็น กฎการบวกเดียวกันให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราต้องการทราบ

แต่กลับไปที่ Borscht ของเรา ตอนนี้เราสามารถเห็นสิ่งที่จะเกิดขึ้นสำหรับค่าต่างๆ ของมุมของฟังก์ชันมุมเชิงเส้น

มุมเป็นศูนย์ มีสลัดแต่ไม่มีน้ำ เราไม่สามารถปรุง Borscht ได้ ปริมาณของ Borscht ยังเป็นศูนย์ นี่ไม่ได้หมายความว่าศูนย์ Borscht เท่ากับศูนย์น้ำ Zero Borscht สามารถเป็นศูนย์สลัด (มุมขวา)

สำหรับฉันเป็นการส่วนตัว นี่คือข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญของข้อเท็จจริงที่ว่า ศูนย์จะไม่เปลี่ยนหมายเลขเมื่อเพิ่ม นี่เป็นเพราะการเพิ่มเองเป็นไปไม่ได้ถ้ามีเพียงหนึ่งเทอมและไม่มีเทอมที่สอง คุณสามารถเชื่อมโยงสิ่งนี้ได้ตามที่คุณต้องการ แต่จำไว้ - การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่มีศูนย์นั้นถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์เอง ดังนั้นให้ละทิ้งตรรกะของคุณและยัดเยียดคำจำกัดความที่นักคณิตศาสตร์คิดค้น: "การหารด้วยศูนย์เป็นไปไม่ได้", "จำนวนใด ๆ ที่คูณด้วยศูนย์เท่ากับ ศูนย์" , "สำหรับจุดน็อคเอาท์ศูนย์" และเรื่องไร้สาระอื่นๆ เมื่อศูนย์ไม่ใช่ตัวเลขก็เพียงพอแล้ว และคุณจะไม่มีคำถามว่า 0 เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่ เพราะคำถามดังกล่าวมักสูญเสียความหมาย: เราจะพิจารณาตัวเลขที่ไม่ใช่ตัวเลขได้อย่างไร มันเหมือนกับการถามว่าสีที่มองไม่เห็นควรเป็นสีอะไร การเพิ่มศูนย์ให้กับตัวเลขก็เหมือนกับการระบายสีที่ไม่มีอยู่จริง เราโบกมือด้วยแปรงแห้งและบอกทุกคนว่า "เราวาดแล้ว" แต่ฉันพูดเพ้อเจ้อเล็กน้อย

มุมมีค่ามากกว่าศูนย์ แต่น้อยกว่าสี่สิบห้าองศา สลัดมีเยอะแต่น้ำไม่พอ เป็นผลให้เราได้รับ Borscht หนา

มุมคือสี่สิบห้าองศา เรามีน้ำและสลัดในปริมาณที่เท่ากัน นี่คือ Borscht ที่สมบูรณ์แบบ (ใช่ พ่อครัวจะยกโทษให้ฉัน มันเป็นแค่คณิตศาสตร์)

มุมมีค่ามากกว่าสี่สิบห้าองศา แต่น้อยกว่าเก้าสิบองศา เรามีน้ำเยอะและสลัดเล็กน้อย คุณได้รับ Borscht เหลว

มุมฉาก. เรามีน้ำ จากสลัด เหลือแต่ความทรงจำ ขณะที่เรายังคงวัดมุมจากเส้นที่ครั้งหนึ่งเคยใช้แทนสลัด เราไม่สามารถปรุง Borscht ได้ ปริมาณ Borscht เป็นศูนย์ ในกรณีนั้นถือและดื่มน้ำในขณะที่คุณมี)))

ที่นี่. บางอย่างเช่นนี้ ฉันสามารถเล่าเรื่องอื่น ๆ ที่นี่ที่จะเกินความเหมาะสมได้ที่นี่

เพื่อนสองคนมีส่วนในธุรกิจร่วมกัน หลังจากฆ่าหนึ่งในนั้นแล้ว ทุกอย่างก็ไปที่อื่น

การเกิดขึ้นของคณิตศาสตร์บนโลกของเรา

เรื่องราวทั้งหมดนี้เล่าในภาษาของคณิตศาสตร์โดยใช้ฟังก์ชันมุมเชิงเส้น คราวหน้า ผมจะแสดงให้คุณเห็นตำแหน่งที่แท้จริงของฟังก์ชันเหล่านี้ ในโครงสร้างของคณิตศาสตร์ ในระหว่างนี้ ให้กลับไปที่ตรีโกณมิติของ Borscht และพิจารณาการคาดคะเน

วันเสาร์ที่ 26 ตุลาคม 2019

ฉันดูวิดีโอที่น่าสนใจเกี่ยวกับ แกรนดี้ โรว์ หนึ่งลบหนึ่งบวกหนึ่งลบหนึ่ง - Numberphile... นักคณิตศาสตร์โกหก พวกเขาไม่ได้ทำการทดสอบความเท่าเทียมกันในการให้เหตุผล

นี้สะท้อนเหตุผลของฉันเกี่ยวกับ

มาดูสัญญาณของการหลอกลวงเราโดยนักคณิตศาสตร์กันดีกว่า ในช่วงเริ่มต้นของการให้เหตุผล นักคณิตศาสตร์กล่าวว่าผลรวมของลำดับนั้นขึ้นอยู่กับว่าจำนวนขององค์ประกอบในนั้นจะเป็นเลขคู่หรือไม่ นี่เป็นข้อเท็จจริงที่ถูกกำหนดอย่างเป็นรูปธรรม จะเกิดอะไรขึ้นต่อไป?

จากนั้นนักคณิตศาสตร์จะลบลำดับออกจากหนึ่ง สิ่งนี้นำไปสู่อะไร? สิ่งนี้นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงจำนวนองค์ประกอบในลำดับ - เลขคู่เปลี่ยนเป็นเลขคี่ เลขคี่เปลี่ยนเป็นเลขคู่ หลังจากที่ทั้งหมด เราได้เพิ่มองค์ประกอบหนึ่งเท่ากับหนึ่งในลำดับ แม้จะมีความคล้ายคลึงภายนอกทั้งหมด ลำดับก่อนการแปลงไม่เท่ากับลำดับหลังการแปลง แม้ว่าเรากำลังพูดถึงลำดับอนันต์ เราต้องจำไว้ว่าลำดับอนันต์ที่มีองค์ประกอบจำนวนคี่ไม่เท่ากับลำดับอนันต์ที่มีองค์ประกอบเป็นจำนวนคู่

การวางเครื่องหมายเท่ากับระหว่างสองลำดับที่แตกต่างกันในจำนวนขององค์ประกอบ นักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลว่าผลรวมของลำดับไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนขององค์ประกอบในลำดับ ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่กำหนดโดยชัดแจ้ง การให้เหตุผลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลรวมของลำดับอนันต์นั้นเป็นเท็จ เนื่องจากเป็นไปตามความเท่าเทียมกันเท็จ

หากคุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์ในระหว่างการพิสูจน์ใส่วงเล็บ จัดเรียงองค์ประกอบของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ เพิ่มหรือลบบางสิ่ง ระวังให้มาก เป็นไปได้มากว่าพวกเขากำลังพยายามหลอกลวงคุณ เช่นเดียวกับนักมายากลไพ่ นักคณิตศาสตร์เบี่ยงเบนความสนใจของคุณด้วยการใช้สำนวนต่างๆ เพื่อที่คุณจะพลาดผลลัพธ์ที่ผิดพลาด หากคุณไม่สามารถทำซ้ำเคล็ดลับของไพ่โดยไม่ทราบความลับของการหลอกลวงแล้วในคณิตศาสตร์ทุกอย่างง่ายกว่ามาก: คุณไม่ได้สงสัยอะไรเลยเกี่ยวกับการหลอกลวง แต่การทำซ้ำการจัดการทั้งหมดด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ช่วยให้คุณโน้มน้าวผู้อื่นถึงความถูกต้องของ ผลลัพธ์เช่นเดียวกับเมื่อมีบางสิ่งทำให้คุณเชื่อมั่น

คำถามจากผู้ฟัง: แล้วอินฟินิตี้ล่ะ (เนื่องจากจำนวนองค์ประกอบในลำดับ S) เป็นเลขคู่หรือคี่ คุณจะเปลี่ยนความเท่าเทียมกันของสิ่งที่ไม่มีความเท่าเทียมกันได้อย่างไร

อินฟินิตี้สำหรับนักคณิตศาสตร์เช่นอาณาจักรแห่งสวรรค์สำหรับนักบวช - ไม่มีใครเคยไปที่นั่น แต่ทุกคนรู้ดีว่าทุกอย่างทำงานที่นั่นอย่างไร))) ฉันเห็นด้วยหลังจากความตายคุณจะเฉยเมยอย่างแน่นอนว่าคุณจะมีชีวิตอยู่เป็นเลขคู่หรือคี่ ของวัน แต่ ... เพียงหนึ่งวันในการเริ่มต้นชีวิตของคุณ เราจะได้คนที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: นามสกุล ชื่อ และนามสกุลของเขาเหมือนกันทุกประการ มีเพียงวันเดือนปีเกิดเท่านั้นที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง - เขาเกิดในวันหนึ่ง ก่อนคุณ.

และตอนนี้ ในสาระสำคัญ))) สมมติว่าลำดับจำกัดที่มีความเท่าเทียมกันสูญเสียความเท่าเทียมกันนี้เมื่อไปที่อนันต์ จากนั้นส่วนจำกัดใดๆ ของลำดับอนันต์จะต้องสูญเสียความเท่าเทียมกัน เราไม่เห็นสิ่งนี้ ความจริงที่ว่าเราไม่สามารถพูดได้อย่างแน่นอนว่าจำนวนองค์ประกอบในลำดับอนันต์เป็นคู่หรือคี่ไม่ได้หมายความว่าความเท่าเทียมกันนั้นหายไป ความเท่าเทียมกันถ้ามีอยู่ก็ไม่สามารถหายไปได้โดยปราศจากร่องรอยสู่อนันต์เช่นเดียวกับแขนเสื้อที่คมชัดกว่า มีการเปรียบเทียบที่ดีมากสำหรับกรณีนี้

คุณเคยถามนกกาเหว่านั่งในนาฬิกาว่าเข็มนาฬิกาหมุนไปในทิศทางใด? สำหรับเธอ ลูกศรจะหมุนไปในทิศทางตรงกันข้ามกับสิ่งที่เราเรียกว่า "ตามเข็มนาฬิกา" ทิศทางของการหมุนนั้นดูขัดแย้งกันอย่างที่คิด ขึ้นกับว่าเราสังเกตการหมุนจากด้านใด ดังนั้นเราจึงมีล้อหนึ่งที่หมุนได้ เราไม่สามารถบอกได้ว่าการหมุนเกิดขึ้นในทิศทางใด เนื่องจากเราสามารถสังเกตได้จากด้านหนึ่งของระนาบการหมุนและจากอีกด้านหนึ่ง เราสามารถยืนยันได้ว่ามีการหมุนเวียนเท่านั้น เปรียบเทียบอย่างสมบูรณ์กับความเท่าเทียมกันของลำดับอนันต์ ส.

ทีนี้ มาเพิ่มวงล้อหมุนอันที่สองกัน ซึ่งระนาบการหมุนขนานกับระนาบการหมุนของวงล้อหมุนอันแรก เรายังไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าล้อเหล่านี้หมุนไปในทิศทางใด แต่เราสามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่าล้อทั้งสองหมุนไปในทิศทางเดียวกันหรือในทิศทางตรงกันข้าม เปรียบเทียบสองซีเควนซ์ที่ไม่สิ้นสุด สและ 1-Sฉันแสดงด้วยความช่วยเหลือของคณิตศาสตร์ว่าลำดับเหล่านี้มีความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกันและการใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างกันถือเป็นข้อผิดพลาด โดยส่วนตัวแล้วฉันเชื่อในวิชาคณิตศาสตร์ ฉันไม่ไว้ใจนักคณิตศาสตร์))) อย่างไรก็ตาม เพื่อความเข้าใจที่สมบูรณ์เกี่ยวกับเรขาคณิตของการเปลี่ยนแปลงของลำดับอนันต์ จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดนี้ "พร้อมกัน"... สิ่งนี้จะต้องถูกวาด

วันพุธที่ 7 สิงหาคม 2019

เมื่อจบการสนทนา ยังมีจำนวนอนันต์ที่ต้องพิจารณา ผลที่ได้คือแนวคิดของ "อินฟินิตี้" มีผลกับนักคณิตศาสตร์เช่นงูเหลือมบนกระต่าย ความสยองขวัญที่สั่นเทาของอินฟินิตี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ขาดสามัญสำนึก นี่คือตัวอย่าง:

แหล่งที่มาเดิมตั้งอยู่ อัลฟ่าย่อมาจากจำนวนจริง เครื่องหมายเท่ากับในนิพจน์ข้างต้นระบุว่าหากคุณเพิ่มตัวเลขหรืออนันต์ให้กับอนันต์ ไม่มีอะไรจะเปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์จะเป็นอนันต์เดียวกัน หากเรายกตัวอย่างชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์ ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถนำเสนอในรูปแบบต่อไปนี้:

นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นวิธีการต่างๆ มากมายเพื่อเป็นการพิสูจน์ให้เห็นถึงความถูกต้อง โดยส่วนตัวแล้ว ฉันมองว่าวิธีการทั้งหมดนี้เป็นหมอผีเต้นรำกับแทมบูรีน โดยพื้นฐานแล้วพวกเขาทั้งหมดเดือดดาลกับความจริงที่ว่าห้องพักบางห้องไม่ได้ถูกครอบครองและมีแขกใหม่ย้ายเข้ามาหรือแขกบางคนถูกโยนออกไปที่ทางเดินเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับแขก (อย่างมนุษย์ปุถุชน) ฉันนำเสนอมุมมองของฉันเกี่ยวกับการตัดสินใจดังกล่าวในรูปแบบของเรื่องราวที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับสาวผมบลอนด์ เหตุผลของฉันขึ้นอยู่กับอะไร? การย้ายผู้เยี่ยมชมจำนวนไม่สิ้นสุดต้องใช้เวลาเป็นอนันต์ หลังจากที่เราออกจากห้องแรกสำหรับแขกแล้ว ผู้เยี่ยมชมคนหนึ่งจะเดินไปตามทางเดินจากห้องของเขาไปยังอีกห้องหนึ่งจนถึงสิ้นศตวรรษ แน่นอน ปัจจัยด้านเวลาสามารถละเลยอย่างโง่เขลาได้ แต่จะมาจากหมวดหมู่ "กฎหมายไม่ได้เขียนไว้สำหรับคนโง่" แล้ว ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังทำ: การปรับความเป็นจริงให้ตรงกับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือในทางกลับกัน

"โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด" คืออะไร? โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุดคือโรงแรมที่มีที่ว่างเสมอไม่ว่าจะมีห้องกี่ห้องก็ตาม หากห้องพักทุกห้องในทางเดินสำหรับผู้มาเยี่ยมที่ไม่มีที่สิ้นสุดถูกครอบครอง มีทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกแห่งพร้อมห้องพักแขก จะมีทางเดินดังกล่าวจำนวนไม่สิ้นสุด ยิ่งกว่านั้น "โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด" มีจำนวนชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอาคารจำนวนไม่สิ้นสุดบนดาวเคราะห์จำนวนไม่สิ้นสุดในจักรวาลจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยเทพเจ้าจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแยกตัวออกจากปัญหาในชีวิตประจำวันทั่วไปได้: พระเจ้าอัลลอฮ์ - พระพุทธเจ้าเป็นเพียงแห่งเดียวเสมอ โรงแรมเป็นหนึ่ง ทางเดินเป็นเพียงแห่งเดียว นักคณิตศาสตร์พยายามเล่นปาหี่เลขประจำห้องในโรงแรม ทำให้เรามั่นใจว่าคุณสามารถ "ยัดเยียดสิ่งของ" ได้

ฉันจะแสดงให้เห็นตรรกะของการให้เหตุผลของฉันกับคุณเกี่ยวกับตัวอย่างชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์ ก่อนอื่น คุณต้องตอบคำถามง่ายๆ ก่อน: มีชุดตัวเลขธรรมชาติกี่ชุด - หนึ่งชุดหรือหลายชุด ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมาเอง ในธรรมชาติจึงไม่มีตัวเลข ใช่ ธรรมชาติเก่งในการนับ แต่สำหรับสิ่งนี้ เธอใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เราไม่คุ้นเคย ตามที่ธรรมชาติคิด ฉันจะบอกคุณอีกครั้ง เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลข เราเองจะเป็นผู้กำหนดว่ามีจำนวนธรรมชาติกี่ชุด พิจารณาทั้งสองทางเลือก เนื่องจากเหมาะสมกับนักวิทยาศาสตร์ตัวจริง

ตัวเลือกที่หนึ่ง "ให้เราได้รับ" ชุดตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวที่วางอยู่บนหิ้งอย่างสงบ เรานำชุดนี้จากชั้นวาง แค่นั้นแหละ ไม่มีตัวเลขธรรมชาติอื่น ๆ เหลืออยู่บนหิ้งและไม่มีที่ไหนเลยที่จะนำไปใช้ เราไม่สามารถเพิ่มหนึ่งชุดในชุดนี้ เนื่องจากเรามีอยู่แล้ว และถ้าคุณต้องการจริงๆ? ไม่มีปัญหา. เราสามารถหยิบจากชุดที่เราถ่ายไปแล้วคืนที่หิ้งได้ หลังจากนั้นเราสามารถนำหน่วยจากชั้นวางและเพิ่มไปยังสิ่งที่เราเหลือได้ เป็นผลให้เราได้รับชุดจำนวนธรรมชาติที่ไม่สิ้นสุดอีกครั้ง คุณสามารถเขียนการปรับเปลี่ยนทั้งหมดของเราดังนี้:

ฉันเขียนการกระทำในระบบสัญกรณ์พีชคณิตและในระบบสัญกรณ์ที่ใช้ในทฤษฎีเซต โดยมีการแจงนับองค์ประกอบของเซตโดยละเอียด ตัวห้อยระบุว่าเรามีชุดตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าเซตของจำนวนธรรมชาติจะไม่เปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อตัวหนึ่งลบออกจากมันและเพิ่มหน่วยเดียวกัน

ตัวเลือกที่สอง เรามีชุดตัวเลขธรรมชาติมากมายหลายชุดบนชั้นวางของเรา ฉันขอเน้นย้ำว่า - แตกต่างแม้ว่าจะแยกไม่ออกก็ตาม เราใช้หนึ่งในชุดเหล่านี้ จากนั้นเราก็นำตัวเลขธรรมชาติชุดหนึ่งมาบวกกับชุดที่เราถ่ายไปแล้ว เรายังบวกจำนวนธรรมชาติสองชุดได้อีกด้วย นี่คือสิ่งที่เราได้รับ:

ตัวห้อย "หนึ่ง" และ "สอง" ระบุว่ารายการเหล่านี้เป็นของชุดต่างกัน ใช่ หากคุณเพิ่มหนึ่งชุดในเซตอนันต์ ผลลัพธ์จะเป็นเซตอนันต์ด้วย แต่มันจะไม่เหมือนกับเซ็ตดั้งเดิม ถ้าเราเพิ่มชุดอนันต์อีกชุดลงในชุดอนันต์ชุดเดียว ผลลัพธ์ก็คือชุดอนันต์ชุดใหม่ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบของสองชุดแรก

ตัวเลขธรรมชาติจำนวนมากถูกใช้สำหรับการนับในลักษณะเดียวกับไม้บรรทัดสำหรับการวัด ทีนี้ลองนึกภาพเพิ่มหนึ่งเซนติเมตรเข้าไปในไม้บรรทัด นี่จะเป็นบรรทัดอื่นแล้วไม่เท่ากับเส้นเดิม

คุณสามารถยอมรับหรือไม่ยอมรับการให้เหตุผลของฉัน - มันเป็นธุรกิจของคุณเอง แต่ถ้าคุณเคยเจอปัญหาทางคณิตศาสตร์ ลองคิดดูว่าคุณไม่เดินตามเส้นทางการให้เหตุผลแบบผิดๆ ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่นเหยียบย่ำ ท้ายที่สุด การทำคณิตศาสตร์ อย่างแรกเลย ทำให้เกิดการคิดแบบเหมารวมที่มั่นคงในตัวเรา จากนั้นจึงเพิ่มความสามารถทางจิตให้กับเรา (หรือในทางกลับกัน

pozg.ru

วันอาทิตย์ที่ 4 สิงหาคม 2019

ฉันกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับบทความเกี่ยวกับและเห็นข้อความที่ยอดเยี่ยมนี้ใน Wikipedia:

เราอ่านว่า: "... พื้นฐานทางทฤษฎีที่ร่ำรวยของคณิตศาสตร์ของบาบิโลนไม่มีคุณลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดทอนเป็นชุดของเทคนิคที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบทั่วไปและฐานหลักฐาน"

ว้าว! เราฉลาดแค่ไหน และมองเห็นข้อบกพร่องของผู้อื่นได้ดีเพียงใด ยากสำหรับเราที่จะมองคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในบริบทเดียวกันหรือไม่? การถอดความข้อความข้างต้นเล็กน้อย โดยส่วนตัวแล้วฉันได้รับสิ่งต่อไปนี้:

พื้นฐานทางทฤษฎีที่เข้มข้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ไม่ได้เป็นแบบองค์รวมและถูกลดขนาดลงเหลือชุดของส่วนต่างๆ ที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบทั่วไปและฐานหลักฐาน

ฉันจะไม่ไปไกลเพื่อยืนยันคำพูดของฉัน - มันมีภาษาและอนุสัญญาที่แตกต่างจากภาษาและอนุสัญญาของสาขาคณิตศาสตร์อื่น ๆ อีกมากมาย ชื่อเดียวกันในสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสามารถมีความหมายต่างกัน ฉันต้องการอุทิศสิ่งพิมพ์ทั้งชุดให้กับข้อผิดพลาดที่ชัดเจนที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เจอกันเร็วๆนี้.

วันเสาร์ที่ 3 สิงหาคม 2019

คุณจะแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยอย่างไร? ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องป้อนหน่วยการวัดใหม่ที่มีอยู่สำหรับองค์ประกอบบางอย่างของชุดที่เลือก มาดูตัวอย่างกัน

ให้เราได้มีมากมาย อาประกอบด้วยสี่คน ชุดนี้ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของ "คน" ให้เราแสดงถึงองค์ประกอบของชุดนี้ด้วยตัวอักษร เอตัวห้อยที่มีตัวเลขจะแสดงเลขลำดับของแต่ละคนในชุดนี้ ขอแนะนำหน่วยวัดใหม่ "เพศ" และแสดงด้วยตัวอักษร ข... เนื่องจากลักษณะทางเพศมีอยู่ในทุกคน เราจึงคูณแต่ละองค์ประกอบของชุด อาตามเพศ ข... โปรดทราบว่าขณะนี้ "ผู้คน" จำนวนมากของเราได้กลายเป็น "ผู้คนที่มีลักษณะทางเพศ" จำนวนมาก หลังจากนั้นเราสามารถแบ่งลักษณะทางเพศเป็นเพศชายได้ bmและผู้หญิง bwลักษณะทางเพศ ตอนนี้ เราสามารถใช้ตัวกรองทางคณิตศาสตร์ได้: เราเลือกลักษณะทางเพศอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ไม่สำคัญว่าตัวผู้หรือตัวเมียตัวใด ถ้าบุคคลมี เราก็คูณด้วยหนึ่ง ถ้าไม่มีเครื่องหมายดังกล่าว เราจะคูณด้วยศูนย์ แล้วเราก็ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนตามปกติ ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

หลังจากการคูณ การลดลง และการจัดเรียงใหม่ เราได้เซตย่อยสองชุด: เซตย่อยของผู้ชาย Bmและส่วนย่อยของผู้หญิง Bw... นักคณิตศาสตร์คิดเหมือนกันเมื่อใช้ทฤษฎีเซตในทางปฏิบัติ แต่พวกเขาไม่ได้อุทิศเราให้กับรายละเอียด แต่ให้ผลลัพธ์ที่สมบูรณ์ - "ผู้คนจำนวนมากประกอบด้วยกลุ่มย่อยของผู้ชายและกลุ่มย่อยของผู้หญิง" โดยธรรมชาติแล้ว คุณอาจสงสัยว่าคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในการแปลงข้างต้นได้ถูกต้องเพียงใด? ฉันกล้าที่จะรับรองกับคุณ อันที่จริง การแปลงถูกทำอย่างถูกต้อง การรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิต พีชคณิตบูลีน และสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ ก็เพียงพอแล้ว มันคืออะไร? คราวหน้าจะเล่าให้ฟังค่ะ

สำหรับ supersets คุณสามารถรวมสองชุดเป็น superset เดียวโดยเลือกหน่วยการวัดที่มีอยู่สำหรับองค์ประกอบของทั้งสองชุดนี้

อย่างที่คุณเห็น หน่วยวัดและคณิตศาสตร์ทั่วไปทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นอดีตไปแล้ว ข้อบ่งชี้ว่าทฤษฎีเซตนั้นไม่ถูกต้องนักก็คือนักคณิตศาสตร์ได้ใช้ภาษาและสัญกรณ์สำหรับทฤษฎีเซตขึ้นมาเอง นักคณิตศาสตร์ทำในสิ่งที่หมอผีเคยทำ หมอผีเท่านั้นที่รู้วิธี "ใช้" อย่าง "ถูกต้อง" อย่าง "ความรู้" พวกเขาสอนเรา "ความรู้" นี้

สุดท้ายนี้ ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์จัดการอย่างไร
สมมติว่าอคิลลิสวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและอยู่ข้างหลังเต่าพันก้าว ในช่วงเวลาที่ Achilles วิ่งระยะทางนี้ เต่าจะคลานไปเป็นร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลิสวิ่งไปร้อยก้าว เต่าจะคลานอีกสิบก้าว เป็นต้น กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด จุดอ่อนจะไม่มีวันตามเต่า

เหตุผลนี้ทำให้คนรุ่นหลัง ๆ ทุกคนตกใจอย่างมีตรรกะ อริสโตเติล, ไดโอจีเนส, คานท์, เฮเกล, ฮิลเบิร์ต ... ทั้งหมดนั้นไม่ทางใดก็ทางหนึ่งถือว่า aporias ของ Zeno ช็อกหนักมากจน" ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปในขณะนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่มีความคิดเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้ง ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาประเด็นนี้ ; ไม่มีพวกเขาใดที่กลายเป็นคำตอบที่ยอมรับกันโดยทั่วไปสำหรับคำถาม ..."[วิกิพีเดีย" Aporias ของ Zeno "] ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงคืออะไร

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ Zeno ใน aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนแปลงจากขนาดเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการประยุกต์ใช้แทนค่าคงที่ เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือยังไม่ได้นำไปใช้กับ aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกตินำเราไปสู่กับดัก โดยความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยวัดเวลาคงที่กับส่วนกลับกัน จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าการขยายเวลาจนกระทั่งหยุดอย่างสมบูรณ์ในขณะที่จุดอคิลลิสอยู่ระดับเดียวกับเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถแซงเต่าได้อีกต่อไป

หากเราพลิกตรรกะที่เราคุ้นเคย ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ เส้นทางที่ตามมาแต่ละช่วงจะสั้นกว่าช่วงก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะมันจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงถูกต้องแล้วที่จะบอกว่า "อคิลลิสจะตามทันเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

คุณจะหลีกเลี่ยงกับดักตรรกะนี้ได้อย่างไร? อยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าถอยหลัง ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในช่วงเวลาที่อคิลลิสวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน ในช่วงเวลาถัดไป เท่ากับครั้งแรก Achilles จะวิ่งต่อไปอีกพันก้าว และเต่าจะคลานหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสอยู่ข้างหน้าเต่าแปดร้อยก้าว

วิธีการนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีข้อขัดแย้งเชิงตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความไม่สามารถเหนือชั้นของความเร็วแสงนั้นคล้ายคลึงกับ Zeno aporia "Achilles and the Turtle" มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ปัญหานี้ และจะต้องไม่ค้นหาวิธีแก้ปัญหาในจำนวนมาก แต่ในหน่วยการวัด

aporia Zeno ที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งบอกเกี่ยวกับลูกศรที่บินได้:

ลูกศรที่บินได้นั้นไม่มีการเคลื่อนไหว เนื่องจากมันหยุดนิ่งทุกขณะ และเนื่องจากมันหยุดนิ่งทุกขณะ จึงหยุดนิ่งอยู่เสมอ

ใน Aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะถูกเอาชนะอย่างง่ายดาย - เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรบินอยู่ที่จุดต่าง ๆ ในอวกาศซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นการเคลื่อนไหว ควรสังเกตจุดอื่นที่นี่ จากภาพถ่ายรถเพียงภาพเดียวบนท้องถนน เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่หรือระยะห่างของรถคันดังกล่าว ในการพิจารณาข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่ของรถ จำเป็นต้องมีภาพถ่ายสองภาพ โดยถ่ายจากจุดเดียวกัน ณ จุดต่างๆ ในเวลาที่ต่างกัน แต่ไม่สามารถระบุระยะห่างจากภาพเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะห่างจากรถ คุณต้องมีรูปถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่างๆ ในอวกาศพร้อมกัน แต่ไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่ได้ (แน่นอนว่า ยังต้องใช้ข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณได้) สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือจุดสองจุดในเวลาและจุดสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเพราะมันให้โอกาสในการค้นคว้าที่แตกต่างกัน
ให้ฉันแสดงให้คุณเห็นกระบวนการด้วยตัวอย่าง เราเลือก "ของแข็งสีแดงในสิว" - นี่คือ "ทั้งหมด" ของเรา ในขณะเดียวกันเราจะเห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีคันธนู แต่ไม่มีคันธนู หลังจากนั้นเราเลือกส่วนหนึ่งของ "ทั้งหมด" และสร้างชุด "ด้วยธนู" นี่คือวิธีที่หมอดูเลี้ยงตัวเองโดยเชื่อมโยงทฤษฎีเซตกับความเป็นจริง

ตอนนี้มาทำเคล็ดลับสกปรกเล็กน้อย ใช้ "ก้อนที่เป็นเม็ดสิวด้วยธนู" และรวม "ทั้งหมด" เหล่านี้ตามสี โดยเลือกองค์ประกอบสีแดง เรามี "สีแดง" มากมาย ตอนนี้มีคำถามที่ต้องกรอก: ชุดผลลัพธ์ "ด้วยธนู" และ "สีแดง" เป็นชุดเดียวกันหรือเป็นชุดที่แตกต่างกันสองชุด? หมอผีเท่านั้นที่รู้คำตอบ แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาเองไม่รู้อะไรเลย แต่อย่างที่พวกเขาพูดก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตนั้นไร้ประโยชน์อย่างสิ้นเชิงเมื่อพูดถึงความเป็นจริง ความลับคืออะไร? เราได้สร้างชุดของ "ของแข็งสีแดงเข้าชนกับคันธนู" การก่อตัวเกิดขึ้นตามหน่วยการวัดที่แตกต่างกันสี่หน่วย: สี (สีแดง), ความแข็งแรง (ของแข็ง), ความหยาบ (เป็นสิว), เครื่องประดับ (ด้วยธนู) มีเพียงชุดของหน่วยวัดเท่านั้นที่ทำให้สามารถอธิบายวัตถุจริงในภาษาของคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ... นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน

ตัวอักษร "a" ที่มีดัชนีต่างกันหมายถึงหน่วยวัดที่ต่างกัน หน่วยของการวัดจะถูกเน้นในวงเล็บโดยที่ "ทั้งหมด" จะถูกจัดสรรในขั้นตอนเบื้องต้น หน่วยวัดซึ่งสร้างชุดนั้นออกจากวงเล็บ บรรทัดสุดท้ายแสดงผลสุดท้าย - องค์ประกอบของชุด อย่างที่คุณเห็น หากเราใช้หน่วยการวัดเพื่อสร้างเซต ผลลัพธ์จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของการกระทำของเรา และนี่คือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การเต้นรำของหมอผีกับรำมะนา หมอผีสามารถ "ใช้สัญชาตญาณ" เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เดียวกัน โดยโต้แย้ง "โดยหลักฐาน" เพราะหน่วยวัดไม่รวมอยู่ในคลังแสง "วิทยาศาสตร์" ของพวกเขา

มันง่ายมากที่จะใช้หน่วยเพื่อแยกหนึ่งหรือรวมหลายชุดเป็น superset เดียว มาดูพีชคณิตของกระบวนการนี้กันดีกว่า