Iestatiet funkcijas paritāti. Kā noteikt pāra un nepāra funkcijas

Mainīgā y atkarību no mainīgā x, kurā katra x vērtība atbilst vienai y vērtībai, sauc par funkciju. Apzīmējums ir y=f(x). Katrai funkcijai ir vairākas pamatīpašības, piemēram, monotoniskums, paritāte, periodiskums un citas.

Apsveriet paritātes īpašību sīkāk.

Funkcija y=f(x) tiek izsaukta pat tad, ja tā atbilst šādiem diviem nosacījumiem:

2. Funkcijas vērtībai punktā x, kas pieder pie funkcijas darbības jomas, jābūt vienādai ar funkcijas vērtību punktā -x. Tas ir, jebkuram punktam x no funkcijas domēna šādai vienādībai f (x) \u003d f (-x) ir jābūt patiesai.

Pāra funkcijas grafiks

Ja veidojat pāra funkcijas grafiku, tas būs simetrisks pret y asi.

Piemēram, funkcija y=x^2 ir pāra. Pārbaudīsim to. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, kas nozīmē, ka tā ir simetriska attiecībā pret punktu O.

Ņemiet patvaļīgu x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Tāpēc f(x) = f(-x). Tādējādi abi nosacījumi mums ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir vienmērīga. Zemāk ir funkcijas y=x^2 grafiks.

Attēlā redzams, ka grafiks ir simetrisks pret y asi.

Nepāra funkcijas grafiks

Funkciju y=f(x) sauc par nepāra, ja tā atbilst šādiem diviem nosacījumiem:

1. Dotās funkcijas domēnam jābūt simetriskam attiecībā pret punktu O. Tas ir, ja kāds punkts a pieder funkcijas domēnam, tad arī atbilstošajam punktam -a ir jāpieder dotās funkcijas domēnam.

2. Jebkuram punktam x no funkcijas domēna ir jāizpilda šāda vienādība f (x) \u003d -f (x).

Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret punktu O – izcelsmi. Piemēram, funkcija y=x^3 ir nepāra. Pārbaudīsim to. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, kas nozīmē, ka tā ir simetriska attiecībā pret punktu O.

Ņemiet patvaļīgu x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Tāpēc f(x) = -f(x). Tādējādi abi nosacījumi mums ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir nepāra. Zemāk ir funkcijas y=x^3 grafiks.

Attēlā skaidri redzams, ka nepāra funkcija y=x^3 ir simetriska attiecībā pret izcelsmi.

Kuri vienā vai otrā pakāpē jums bija pazīstami. Tur arī tika atzīmēts, ka funkciju īpašumu krājumi pakāpeniski tiks papildināti. Šajā sadaļā tiks apskatīti divi jauni īpašumi.

1. definīcija.

Funkcija y \u003d f (x), x є X tiek izsaukta pat tad, ja jebkurai vērtībai x no kopas X vienādība f (-x) \u003d f (x) ir patiesa.

2. definīcija.

Funkciju y \u003d f (x), x є X sauc par nepāra, ja jebkurai vērtībai x no kopas X vienādība f (-x) \u003d -f (x) ir patiesa.

Pierādīt, ka y = x 4 ir pāra funkcija.

Risinājums. Mums ir: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Bet (-x) 4 = x 4 . Tādējādi jebkuram x vienādība f (-x) = f (x), t.i. funkcija ir vienmērīga.

Līdzīgi var pierādīt, ka funkcijas y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 ir pāra.

Pierādīt, ka y = x 3 ir nepāra funkcija.

Risinājums. Mums ir: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Bet (-x) 3 = -x 3 . Tādējādi jebkuram x vienādība f (-x) \u003d -f (x), t.i. funkcija ir nepāra.

Līdzīgi var pierādīt, ka funkcijas y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ir nepāra.

Mēs ar jums vairākkārt esam pārliecinājušies, ka jaunajiem terminiem matemātikā visbiežāk ir “zemes” izcelsme, t.i. tos var kaut kā izskaidrot. Tas attiecas gan uz pāra, gan nepāra funkcijām. Skatiet: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ir nepāra funkcijas, savukārt y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 ir pāra funkcijas. Un kopumā jebkurai funkcijai formā y \u003d x "(tālāk mēs īpaši pētīsim šīs funkcijas), kur n ir naturāls skaitlis, mēs varam secināt: ja n ir nepāra skaitlis, tad funkcija y \u003d x " ir nepāra; ja n ir pāra skaitlis, tad funkcija y = xn ir pāra skaitlis.

Ir arī funkcijas, kas nav ne pāra, ne nepāra. Tāda, piemēram, ir funkcija y \u003d 2x + 3. Patiešām, f (1) \u003d 5 un f (-1) \u003d 1. Kā redzat, šeit nav ne identitātes f (-x). ) \u003d f ( x), ne identitāte f(-x) = -f(x).

Tātad funkcija var būt pāra, nepāra vai neviena.

Jautājuma izpēti par to, vai dotā funkcija ir pāra vai nepāra, parasti sauc par paritātes funkcijas izpēti.

Definīcijas 1 un 2 attiecas uz funkcijas vērtībām punktos x un -x. Tas pieņem, ka funkcija ir definēta gan punktā x, gan punktā -x. Tas nozīmē, ka punkts -x pieder funkcijas domēnam vienlaikus ar punktu x. Ja skaitliskā kopa X kopā ar katru tās elementu x satur pretējo elementu -x, tad X sauc par simetrisko kopu. Pieņemsim, ka (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) ir simetriskas kopas, kamēr ; (∞;∞) ir simetriskas kopas, un , [–5;4] ir nesimetriskas.

- Vai pat funkcijām ir definīcijas domēns - simetriska kopa? Savādi?
- ja D( f) ir asimetriska kopa, tad kāda ir funkcija?
– Tādējādi, ja funkcija plkst = f(X) ir pāra vai nepāra, tad tā definīcijas domēns ir D( f) ir simetriska kopa. Bet vai ir taisnība otrādi, ja funkcijas domēns ir simetriska kopa, tad tā ir pāra vai nepāra?
- Tātad definīcijas domēna simetriskas kopas klātbūtne ir nepieciešams, bet ne pietiekams nosacījums.
– Tātad, kā mēs varam izpētīt paritātes funkciju? Mēģināsim uzrakstīt algoritmu.

Slidkalniņš

Algoritms funkcijas paritātes pārbaudei

1. Nosakiet, vai funkcijas apgabals ir simetrisks. Ja nē, tad funkcija nav ne pāra, ne nepāra. Ja jā, pārejiet uz algoritma 2. darbību.

2. Uzrakstiet izteiksmi priekš f(–X).

3. Salīdziniet f(–X).Un f(X):

• Ja f(–X).= f(X), tad funkcija ir pāra;
• Ja f(–X).= – f(X), tad funkcija ir nepāra;
• Ja f(–X) ≠ f(X) Un f(–X) ≠ –f(X), tad funkcija nav ne pāra, ne nepāra.

Piemēri:

Izpētiet paritātes funkciju a) plkst= x 5 +; b) plkst= ; V) plkst= .

Risinājums.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetriskā kopa.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcija h(x)= x 5 + nepāra.

b) y =,

plkst = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetriska kopa, tāpēc funkcija nav ne pāra, ne nepāra.

V) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. iespēja

1. Vai dotā kopa ir simetriska: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

Savstarpēja pārbaude slidkalniņš.

6. Mājas darbs: №11.11, 11.21,11.22;

Paritātes īpašuma ģeometriskās nozīmes pierādījums.

*** (Izmantošanas opcijas piešķiršana).

1. Nepāra funkcija y \u003d f (x) ir definēta visā reālajā rindā. Jebkurai mainīgā x vērtībai, kas nav negatīva, šīs funkcijas vērtība sakrīt ar funkcijas g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Atrodiet funkcijas h( X) = plkst X = 3.

7. Rezumējot

2020. gada jūlijā NASA uzsāk ekspedīciju uz Marsu. Kosmosa kuģis uz Marsu nogādās elektronisku nesēju ar visu reģistrēto ekspedīcijas dalībnieku vārdiem.

Ja šī ziņa atrisināja jūsu problēmu vai jums tas vienkārši patika, kopīgojiet saiti uz to ar draugiem sociālajos tīklos.

Viena no šīm koda opcijām ir jākopē un jāielīmē jūsu tīmekļa lapas kodā, vēlams starp tagiem Un vai tieši aiz atzīmes . Saskaņā ar pirmo opciju MathJax tiek ielādēts ātrāk un mazāk palēnina lapu. Bet otrā opcija automātiski izseko un ielādē jaunākās MathJax versijas. Ja ievietojat pirmo kodu, tas būs periodiski jāatjaunina. Ja ielīmēsit otro kodu, lapas tiks ielādētas lēnāk, taču jums nebūs pastāvīgi jāuzrauga MathJax atjauninājumi.

Vienkāršākais veids, kā savienot MathJax, ir pakalpojumā Blogger vai WordPress: vietnes vadības panelī pievienojiet logrīku, kas paredzēts trešās puses JavaScript koda ievietošanai, kopējiet tajā pirmo vai otro ielādes koda versiju un novietojiet logrīku tuvāk veidnes sākums (starp citu, tas nemaz nav nepieciešams, jo MathJax skripts tiek ielādēts asinhroni). Tas ir viss. Tagad apgūstiet MathML, LaTeX un ASCIIMathML iezīmēšanas sintaksi, un esat gatavs iegult matemātikas formulas savās tīmekļa lapās.

Kārtējais Jaungada vakars... sals un sniegpārslas uz loga stikla... Tas viss pamudināja vēlreiz rakstīt par... fraktāļiem, un ko par to zina Volframs Alfa. Šajā gadījumā ir interesants raksts, kurā ir divdimensiju fraktāļu struktūru piemēri. Šeit mēs apsvērsim sarežģītākus trīsdimensiju fraktāļu piemērus.

Fraktāli var vizuāli attēlot (aprakstīt) kā ģeometrisku figūru vai ķermeni (tas nozīmē, ka abi ir kopa, šajā gadījumā punktu kopa), kuras detaļām ir tāda pati forma kā pašai oriģinālajai figūrai. Tas ir, tā ir sev līdzīga struktūra, kuras detaļas, ņemot vērā tās palielinājumu, mēs redzēsim tādu pašu formu kā bez palielinājuma. Savukārt parastas ģeometriskas figūras (nevis fraktāļa) gadījumā, pietuvinot to, mēs redzēsim detaļas, kurām ir vienkāršāka forma nekā pašai oriģinālajai figūrai. Piemēram, ar pietiekami lielu palielinājumu daļa elipses izskatās kā taisnas līnijas segments. Tas nenotiek ar fraktāļiem: tos palielinot, mēs atkal redzēsim to pašu sarežģīta forma, kas ar katru pieaugumu tiks atkārtots atkal un atkal.

Fraktāļu zinātnes pamatlicējs Benuā Mandelbrots savā rakstā Fractals and Art for Science rakstīja: "Fraktāļi ir ģeometriskās formas, kas savās detaļās ir tikpat sarežģītas kā vispārējā formā. Tas ir, ja fraktāļa daļa tiek palielināta līdz veseluma izmēram, tā izskatīsies kā veselums vai nu precīzi, vai varbūt ar nelielu deformāciju.