2 मीटरच्या बाजूने षटकोनी. नियमित षटकोनी

एका प्रश्नासह: "षटकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे?", आपण केवळ भूमिती इत्यादी परीक्षेतच येऊ शकत नाही, हे ज्ञान दैनंदिन जीवनात उपयुक्त ठरेल, उदाहरणार्थ, नूतनीकरण प्रक्रियेदरम्यान खोलीच्या क्षेत्राची अचूक आणि अचूक गणना करण्यासाठी. फॉर्म्युलामध्ये आवश्यक मूल्ये बदलून, वॉलपेपर रोलची आवश्यक संख्या, बाथरूम किंवा स्वयंपाकघरातील फरशा इत्यादी निश्चित करणे शक्य होईल.

इतिहासातील काही तथ्ये

प्राचीन बॅबिलोनपासून भूमिती वापरली जात आहेआणि त्याच्याबरोबर त्याच वेळी अस्तित्वात असलेली इतर राज्ये. गणनेमुळे महत्त्वपूर्ण संरचना तयार करण्यात मदत झाली, कारण तिचे आभार, वास्तुविशारदांना अनुलंब कसे राखायचे, योग्यरित्या योजना कशी काढायची आणि उंची कशी ठरवायची हे माहित होते.

सौंदर्यशास्त्रालाही खूप महत्त्व होते आणि इथे भूमिती पुन्हा एकदा अस्तित्वात आली. आज या शास्त्राची गरज बिल्डर, कटर, वास्तुविशारदाची आहे, तज्ञांची नाही.

म्हणून, सूत्रे सरावात उपयुक्त ठरू शकतात हे समजून घेण्यासाठी, S आकृत्यांची गणना करण्यास सक्षम असणे चांगले आहे.

नियमित षटकोनाचे क्षेत्रफळ

त्यामुळे आमच्याकडे आहे समान बाजू आणि कोनांसह षटकोनी आकार... दैनंदिन जीवनात, आपल्याला नेहमीच्या षटकोनी आकाराच्या वस्तू भेटण्याची संधी मिळते.

उदाहरणार्थ:

• स्क्रू;
• मधाचा पोळा;
• स्नोफ्लेक.

षटकोनी आकार सर्वात आर्थिकदृष्ट्या विमानावरील जागा भरतो. फरसबंदी स्लॅबकडे एक नजर टाका, एकाला दुस-याला फिट केले आहे जेणेकरून कोणतेही अंतर नाहीत.

प्रत्येक कोन 120˚ आहे. आकाराची बाजू परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याएवढी असते.

पेमेंट

समान बाजू असलेल्या सहा त्रिकोणांमध्ये आकाराचे विभाजन करून आवश्यक मूल्य मोजले जाऊ शकते.

त्रिकोणांपैकी एकाचा S ची गणना केल्यावर, सामान्य निश्चित करणे सोपे आहे. साधे सूत्र, कारण एक नियमित षटकोन मूलत: सहा समान त्रिकोण असतो. अशा प्रकारे, त्याची गणना करण्यासाठी, एका त्रिकोणाचे सापडलेले क्षेत्र 6 ने गुणाकार केले जाते.

तुम्ही षटकोनाच्या मध्यभागापासून त्याच्या कोणत्याही बाजूंना लंब काढल्यास, तुम्हाला एक खंड मिळेल - apothem.

षटकोनाचा S कसा शोधायचा ते पाहू या जर अपोथेम माहित असेल तर:

1. S = 1/2 × परिमिती × apothem.
2. 5√3 सेमी एवढा एक अपोथेम घेऊ.

1. एपोथेम वापरून परिमिती शोधा: एपोथेम हे षटकोनाच्या बाजूस लंब असल्यामुळे, एपोथेमने तयार केलेल्या त्रिकोणाचे कोन 30˚-60˚-90˚ आहेत. त्रिकोणाची प्रत्येक बाजू त्याच्याशी संबंधित आहे: x-x√3-2x, जेथे 30˚ च्या कोनाविरुद्ध लहान, x आहे; 60˚ कोनाची लांब बाजू x√3 आहे आणि कर्ण 2x आहे.
2. Apothem x√3 हे सूत्र a = x√3 मध्ये बदलले जाऊ शकते. apothem 5√3 असल्यास, हे मूल्य बदलल्यास, आपल्याला मिळेल: 5√3cm = x√3, किंवा x = 5cm.
3. त्रिकोणाची लहान बाजू 5cm आहे, कारण हे मूल्य षटकोनाच्या बाजूच्या लांबीच्या अर्धा आहे. 5 ने 2 ने गुणाकार केल्याने आपल्याला 10cm मिळेल, जे बाजूच्या लांबीचे मूल्य आहे.
4. परिणामी मूल्य 6 ने गुणाकार केले जाते आणि आम्हाला परिमितीचे मूल्य मिळते - 60cm.

आम्ही प्राप्त परिणामांना सूत्रामध्ये बदलतो: S = 1/2 × परिमिती × apothem

S = ½ × 60cm × 5√3

आम्ही विचार करतो:

मुळांपासून मुक्त होण्यासाठी उत्तर सोपे करूया. परिणाम चौरस सेंटीमीटरमध्ये व्यक्त केला जाईल: ½ × 60cm × 5√3cm = 30 × 5√3cm = 150 √3cm = 259.8s m².

अनियमित षटकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे

अनेक पर्याय आहेत:

• षटकोनाचे इतर आकारांमध्ये विभाजन.
• ट्रॅपेझियम पद्धत.
• समन्वय अक्ष वापरून S अनियमित बहुभुजांची गणना.

पद्धतीची निवड प्रारंभिक डेटाद्वारे निर्धारित केली जाते.

ट्रॅपेझियम पद्धत

हेक्सागोन स्वतंत्र ट्रॅपेझॉइड्समध्ये विभागले गेले आहे, त्यानंतर प्रत्येक परिणामी आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजले जाते.

समन्वय अक्ष वापरणे

आम्ही बहुभुजाच्या शिरोबिंदूंचे निर्देशांक वापरतो:

• आपण सारणीमध्ये x आणि y च्या शिरोबिंदूंचे निर्देशांक लिहितो. अनुक्रमे शिरोबिंदू निवडा, घड्याळाच्या उलट दिशेने "हलवून", पहिल्या शिरोबिंदूचे निर्देशांक पुन्हा लिहून सूची पूर्ण करा.
• 1ल्या शिरोबिंदूच्या x-समन्वय मूल्यांचा 2ऱ्या शिरोबिंदूच्या y-मूल्याने गुणाकार करा आणि त्याप्रमाणे गुणाकार करणे सुरू ठेवा. आम्ही प्राप्त परिणाम जोडतो.
• y1-व्या शिरोबिंदू निर्देशांकांची मूल्ये दुसऱ्या शिरोबिंदूच्या x-निर्देशांकांच्या मूल्यांनी गुणाकार केली जातात. परिणाम जोडा.
• तिसऱ्या टप्प्यावर मिळालेल्या रकमेतून चौथ्या टप्प्यावर मिळालेली रक्कम वजा करा.
• आम्ही मागील चरणात मिळालेला परिणाम विभाजित करतो आणि आम्ही जे शोधत होतो ते शोधतो.

षटकोनी इतर आकारांमध्ये मोडणे

बहुभुज इतर आकारांमध्ये विभागलेले आहेत: ट्रॅपेझॉइड्स, त्रिकोण, आयत. सूचीबद्ध आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी सूत्रांचा वापर करून, आवश्यक मूल्ये मोजली जातात आणि जोडली जातात.

अनियमित षटकोनामध्ये दोन समांतरभुज चौकोन असू शकतात. समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्यासाठी, त्याची लांबी त्याच्या रुंदीने गुणाकार केली जाते आणि नंतर आधीच ज्ञात दोन क्षेत्रे जोडली जातात.

समभुज षटकोनी क्षेत्र

नियमित षटकोनाला सहा समान बाजू असतात. समभुज आकृतीचे क्षेत्रफळ 6S त्रिकोणांच्या बरोबरीचे असते, ज्यामध्ये नियमित षटकोन विभागलेला असतो. नियमित षटकोनातील प्रत्येक त्रिकोण समान असतो, म्हणून, अशा आकृतीचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, कमीतकमी एका त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ जाणून घेणे पुरेसे आहे.

इच्छित मूल्य शोधण्यासाठी, वर वर्णन केलेल्या नियमित आकृतीच्या क्षेत्रासाठी सूत्र वापरा.

आपल्याला आवश्यक असलेले सूत्र वापरून नियमित षटकोनीचे क्षेत्र ऑनलाइन शोधण्यासाठी, फील्डमध्ये संख्या प्रविष्ट करा आणि "ऑनलाइन गणना करा" बटणावर क्लिक करा.
लक्ष द्या!बिंदू (2.5) असलेल्या संख्या बिंदू (.) सह लिहिल्या पाहिजेत, स्वल्पविरामाने नव्हे!

1. नियमित षटकोनाचे सर्व कोन 120° सारखे असतात

2. नियमित षटकोनाच्या सर्व बाजू एकमेकांना सारख्या असतात

नियमित षटकोनी परिमिती

4. नियमित षटकोनी पृष्ठभागाचा आकार

5. नियमित षटकोनाच्या काढलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या

6. सामान्य षटकोनाच्या गोल वर्तुळाचा व्यास

7. प्रविष्ट केलेल्या नियमित षटकोनी वर्तुळाची त्रिज्या

8. सादर केलेल्या आणि सीमावर्ती वर्तुळांच्या त्रिज्यांमधील संबंध

जसे, आणि, आणि, ज्यावरून त्रिकोण येतो - कर्ण सह आयताकृती - ते समान आहे. अशा प्रकारे,

10. लांबी AB आहे

11. सेक्टर सूत्र

रेग्युलर हेक्सागनच्या सेगमेंट सेगमेंट्सची गणना करणे

तांदूळ. 1. नियमित षटकोनी विभाग समान हिऱ्यांमध्ये मोडले जातात

1. नियमित षटकोनाची बाजू चिन्हांकित वर्तुळाच्या त्रिज्याएवढी असते

2. षटकोनासह बिंदू जोडताना, आम्हाला समान समभुज चौकोनांची मालिका मिळते (चित्र.

चौरस सह

तांदूळ. समान त्रिकोणांमध्ये विभागणीसह नियमित षटकोनाचे विभाग

3. एक कर्ण जोडा, समभुज चौकोनात आपल्याला पृष्ठभागांसह सहा समान त्रिकोण मिळतात

3. त्रिकोणांमध्ये विभागणीसह सामान्य षटकोनाचे विभाग

4. सामान्य षटकोनी 120° असल्याने, क्षेत्रफळ आणि ते समान असतील

5. क्षेत्रफळ आणि आपण वास्तविक त्रिकोणाचे चौरस सूत्र वापरतो .

लक्षात घेता, आमच्या बाबतीत उंची, परंतु आधार, आम्हाला ते मिळते

सामान्य षटकोनाचे क्षेत्रफळही संख्या आहे जी क्षेत्रफळाच्या दृष्टीने नियमित षटकोन दर्शवते.

वास्तविक षटकोनी (षटकोनी)हा एक षटकोनी आहे ज्यामध्ये सर्व पृष्ठे आणि कोपरे समान आहेत.

आख्यायिका [ संपादन ]

प्रवेश प्रविष्ट करा:

- पृष्ठ लांबी;

एन- ग्राहकांची संख्या, n = 6;

आरप्रविष्ट केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे;

आरही वर्तुळाची त्रिज्या आहे;

α - मध्य कोपऱ्याचा अर्धा भाग, α = π / 6;

P6- नियमित षटकोनी आकार;

SΔ- बाजूच्या समान पायासह समान त्रिकोणाची पृष्ठभाग आणि वर्तुळाच्या त्रिज्या समान बाजू;

S6हे सामान्य षटकोनाचे क्षेत्रफळ आहे.

सूत्रे [ संपादन ]

हे सूत्र नियमित n-gon in च्या प्रदेशासाठी वापरले जाते n = 6:

S_6 = \ frac (3a ^ 2) (2) CTG \ frac (\ pi) (6) \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = 6S _ (\ triangle) \ S _ (\ triangle) = \ frac (e ^ 2) ( 4) CTG \ frac (\pi) (6) \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = \ frac (1) (2) P_6r \ P_6 = \ right (\ math) (Math) \ Leftrightarrow S_6 = 6R ^ 2 \ sin \ frac (\ pi) (6) \ cos \ frac (pi) Frac (\ pi) (6) \ R = \ frac (a) (2 \ sin \ frac (\ pi) (6)) \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = 6r ^ 2tg \ frac (pi) (6), \ r = R \ cos \ frac (\ pi) (6)

कोपऱ्यांसाठी ट्रिग अँगल अँगल वापरणे α = π / 6:

S_6 = \ FRAC (3 \ sqrt (3)) (2) ^ 2 \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = 6S _ (\ triangle) \ S _ (\ triangle) = \ FRAC (\ sqrt (3)) (4) ^ 2 \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = \ frac (1) (2) P_6r \ P_6 = 6a, \r = \ FRAC (\sqrt (3)) (2) A \ Leftrightarrow \ Leftrightarrow S_6 = \ FRAC (3 \ sqrt ( 3)) (2) R^2, \R = A \ Leftrightarrow \ \r = \ frac (\sqrt (3)) (2) R leftrightarrow S_6 = 2 \ sqrt (3) r^2

जेथे (गणित) \ (pi \) sin \ frac (6) = \ frac (1) (2) \ cos \ frac (\ pi) (6) = \ FRAC (\ sqrt (3)) (2), tg \ frac (\ pi) (6) = \ frac (\ sqrt (3)) (3) pi) (6) = \ sqrt (3)

इतर बहुभुज [ संपादन ]

एकूण हेक्स क्षेत्र // KhanAcademyNussian

मधमाश्या मधमाशांच्या मदतीशिवाय षटकोनी बनतात

जर पेशी त्रिकोणी, चौकोनी किंवा षटकोनी असतील तर एक सामान्य जाळीचा नमुना बनवता येतो.

षटकोनी आकार उर्वरित पेक्षा मोठा आहे, आपल्याला भिंतींवर संचयित करण्याची परवानगी देतो, अशा पिंजर्यांसह कंघीवर कमी रस सोडतो. मधमाशांची ही "अर्थव्यवस्था" प्रथम IV मध्ये नोंदवली गेली. शतक. ई. आणि त्याच वेळी असे सुचवण्यात आले की मधमाश्या, घड्याळ बांधताना, "गणितीय योजनेद्वारे नियंत्रित करणे आवश्यक आहे."

तथापि, कार्डिफ विद्यापीठातील संशोधकांसह, तांत्रिक कीर्तीच्या मधमाश्या अतिशयोक्तीपूर्ण आहेत: षटकोनी मधाच्या पोळ्याचा योग्य भौमितीय आकार त्यांच्या शारीरिक सामर्थ्यामुळे आणि केवळ कीटकांच्या मदतनीसांमुळे आहे.

ते पारदर्शक का आहे?

मार्क मेडोव्हनिक

क्रिस्टल्सचा जन्म?

निकोले युश्किन

त्यांच्या संरचनेत, सर्वात सोपी प्राथमिक जैवप्रणाली आणि हायड्रोकार्बन क्रिस्टल्स सर्वात सोपी आहेत.

जर असे खनिज प्रथिने घटकांसह पूरक असेल तर आपल्याला वास्तविक प्रोटो-जीव प्राप्त होईल. अशा प्रकारे, जीवनाच्या उत्पत्तीच्या क्रिस्टलायझेशनच्या संकल्पनेची सुरुवात होते.

पाण्याच्या रचनेबाबत वाद

मालेन्कोव्ह जी.जी.

पाण्याच्या संरचनेचा वाद हा अनेक दशकांपासून वैज्ञानिक समुदायात तसेच अशास्त्रीय लोकांमध्ये चिंतेचा विषय आहे. ही आवड आकस्मिक नाही: पाण्याच्या संरचनेचे श्रेय कधीकधी बरे करण्याच्या गुणधर्मांना दिले जाते आणि अनेकांचा असा विश्वास आहे की ही रचना एखाद्या प्रकारच्या भौतिक पद्धतीद्वारे किंवा फक्त मनाच्या सामर्थ्याने नियंत्रित केली जाऊ शकते.

आणि अनेक दशकांपासून द्रव आणि घन पाण्याच्या रहस्यांचा अभ्यास करणाऱ्या शास्त्रज्ञांचे मत काय आहे?

मध आणि मध उपचार

स्टॉयमिर म्लादेनोव्ह

इतर संशोधकांचा अनुभव आणि प्रायोगिक आणि नैदानिक ​​​​प्रायोगिक अभ्यासांचे परिणाम वापरून, लेखक मधमाशांच्या उपचार गुणधर्मांकडे आणि त्यांच्या क्षमतेचा भाग म्हणून औषधात वापरण्याच्या पद्धतीकडे लक्ष वेधतात.

हे काम अधिक सुसंगत बनवण्यासाठी आणि वाचकांना मधमाशांच्या आर्थिक आणि वैद्यकीय महत्त्वाबद्दल अधिक समग्र दृष्टीकोन देण्यासाठी, पुस्तकात मधमाशांच्या जीवनाशी अतूट संबंध असलेल्या इतर मधमाशी उत्पादनांची थोडक्यात चर्चा केली आहे, म्हणजे मधमाशांचे विष, रॉयल जेली. , परागकण, मेण आणि प्रोपोलिस आणि विज्ञान आणि या उत्पादनांमधील संबंध.

समतल आणि विश्वातील कॉस्टिक्स

कॉस्टिक्स हे सर्व-समावेशक ऑप्टिकल पृष्ठभाग आणि वक्र असतात जे प्रकाश परावर्तित आणि नष्ट झाल्यावर उद्भवतात.

कास्टिकचे वर्णन प्रकाशाच्या एकाग्र किरणासह रेषा किंवा पृष्ठभाग असे केले जाऊ शकते.

ट्रान्झिस्टर कसे कार्य करते?

ते सर्वत्र आहेत: प्रत्येक विद्युत उपकरणात, टीव्हीपासून जुन्या तामागोचीपर्यंत.

आम्हाला त्यांच्याबद्दल काहीही माहिती नाही, कारण आम्हाला ते वास्तव समजते. परंतु त्यांच्याशिवाय जग पूर्णपणे वेगळे असेल. सेमीकंडक्टर. ते काय आहे आणि ते कसे कार्य करते याबद्दल.

झुरळ अनावर होऊ दे

शास्त्रज्ञांच्या एका आंतरराष्ट्रीय पथकाने हे ठरवले आहे की माशांसाठी अतिशय वाऱ्याच्या परिस्थितीत उडणे किती सोपे आहे. असे दिसून आले की महत्त्वपूर्ण प्रभावांच्या परिस्थितीतही, उचलण्याची शक्ती तयार करण्यासाठी एक विशेष यंत्रणा कीटकांना कमीतकमी अतिरिक्त उर्जेच्या वापरासह पुढे जाण्यास अनुमती देते.

बायोमॉर्फिक स्ट्रक्चरमध्ये कार्बोनेट आणि सिलिकेट्सच्या नॅनोक्रिस्टल्सची स्वयं-संस्थेची यंत्रणा स्थापित केली गेली आहे.

एलेना नायमार्क

स्पॅनिश शास्त्रज्ञांनी एक अशी यंत्रणा शोधून काढली आहे ज्यामुळे कार्बोनेट आणि अत्यंत जटिल आणि असामान्य आकाराच्या सिलिकेट्सच्या क्रिस्टल्सची उत्स्फूर्त निर्मिती होऊ शकते.

हे स्फटिकासारखे निओप्लाझम बायोमॉर्फ्ससारखे आहेत - सजीवांच्या सहभागाने प्राप्त झालेल्या अजैविक संरचना. आणि अशी नक्कल घडवून आणणारी यंत्रणा आश्चर्यकारकपणे सोपी आहे - घन क्रिस्टल आणि तयार होणारे द्रव माध्यम यांच्यातील इंटरफेसमध्ये कार्बोनेट्स आणि सिलिकेट्सच्या द्रावणाच्या pH चे उत्स्फूर्त चढउतार आहे.

उच्च दाब खोटे नमुने

कोमारोव एस.एम.

पृष्ठ २ वरून नियमित षटकोनाचे क्षेत्रफळ कोणत्या सूत्राने शोधायचे?

1. ही बाजू २ सह सहा एकतर्फी त्रिकोण आहेत
   समभुज त्रिकोणाची पृष्ठभाग a आहे आणि 3 चे वर्गमूळ भागिले 4, जेथे a = 2
2. टॉवर क्षेत्र 12 * उंची पाया आहे. षटकोनी - सहा समान त्रिकोणांमध्ये विभागलेला एक षटकोनी बहुभुज.

   60 अंशांचा कोन आणि 2 सेमीची बाजू असलेले सर्व समभुज त्रिकोण. पायथागोरियन प्रमेय 2 ची उंची चौरसांमध्ये शोधा = 1 चौरस उंची प्रति वर्गमूळ, म्हणून उंची = 3S = 12 * 2 * 3 + वर्गमूळ वर्गमूळ 3 तास TP 6 म्हणजे 6 मुळे 3

3. नियमित षटकोनाचे वैशिष्ट्य म्हणजे त्याच्या बाजूच्या t आणि दूरच्या वर्तुळाच्या त्रिज्या (R = t) ची समानता.

   षटकोनाचे सामान्य क्षेत्रफळ समीकरण वापरून मोजले जाते:

   वास्तविक षटकोनी

4. षटकोनाचे सामान्य क्षेत्रफळ मुळाच्या वर्गासाठी 3x असते. 3 x R2 / 2, जेथे R ही भोवती वर्तुळाची त्रिज्या आहे. नियमित षटकोनाची षटकोन = 2 ची बाजू समान असते, तर क्षेत्रफळ 6x रूटच्या वर्गाइतके असेल. 3 पासून.

लक्ष द्या, फक्त आज!

बहुभुज हा विषय शालेय अभ्यासक्रमात समाविष्ट आहे, पण त्याकडे पुरेसे लक्ष दिले जात नाही. दरम्यान, हे मनोरंजक आहे आणि हे विशेषतः नियमित षटकोनी किंवा षटकोनीसाठी सत्य आहे - तथापि, बर्याच नैसर्गिक वस्तूंमध्ये हा आकार असतो. यामध्ये मधाचे पोळे आणि बरेच काही समाविष्ट आहे. हा फॉर्म सराव मध्ये खूप चांगला लागू आहे.

व्याख्या आणि बांधकाम

नियमित षटकोन ही एक समतल आकृती आहे ज्याच्या सहा बाजू समान लांबी आणि समान कोनांची संख्या आहे.

जर तुम्हाला बहुभुजाच्या कोनांच्या बेरीजचे सूत्र आठवत असेल

असे दिसून आले की या आकृतीमध्ये ते 720 ° इतके आहे. बरं, आकृतीचे सर्व कोन समान असल्याने, त्यापैकी प्रत्येक 120 ° समान आहे याची गणना करणे सोपे आहे.

षटकोनी काढणे खूप सोपे आहे; यासाठी होकायंत्र आणि शासक पुरेसे आहेत.

चरण-दर-चरण सूचना यासारखे दिसतील:

तुमची इच्छा असल्यास, तुम्ही त्रिज्यामध्ये समान पाच वर्तुळे काढून रेषेशिवाय करू शकता.

परिणामी आकृती एक नियमित षटकोनी असेल आणि हे खाली सिद्ध केले जाऊ शकते.

गुणधर्म सोपे आणि मनोरंजक आहेत

नियमित षटकोनीचे गुणधर्म समजून घेण्यासाठी, त्यास सहा त्रिकोणांमध्ये विभाजित करणे अर्थपूर्ण आहे:

हे भविष्यात त्याचे गुणधर्म अधिक स्पष्टपणे प्रदर्शित करण्यात मदत करेल, त्यापैकी मुख्य आहेत:

1. परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाचा व्यास;
2. कोरलेल्या वर्तुळाचा व्यास;
3. चौरस;
4. परिमिती

परिक्रमा केलेले वर्तुळ आणि बांधकामाची शक्यता

हेक्सभोवती वर्तुळाचे वर्णन केले जाऊ शकते आणि शिवाय, फक्त एक. ही आकृती बरोबर असल्याने, तुम्ही ते अगदी सोप्या पद्धतीने करू शकता: आतील बाजूच्या दोन कोपऱ्यांतून दुभाजक काढा. ते O बिंदूला छेदतील आणि त्यांच्या मधल्या बाजूने एकत्रितपणे एक त्रिकोण तयार होईल.

षटकोनी बाजू आणि दुभाजक यांच्यामधील कोन प्रत्येकी 60° असतील, म्हणून आपण निश्चितपणे म्हणू शकतो की त्रिकोण, उदाहरणार्थ, AOB समद्विभुज आहे. आणि तिसरा कोन देखील ६०° इतका असेल, तो देखील समभुज आहे. हे खालीलप्रमाणे आहे की OA आणि OB विभाग समान आहेत, याचा अर्थ ते वर्तुळाची त्रिज्या म्हणून काम करू शकतात.

त्यानंतर, तुम्ही पुढच्या बाजूला जाऊ शकता आणि C बिंदूवरील कोनातून दुभाजक देखील काढू शकता. तुम्हाला दुसरा समभुज त्रिकोण मिळेल, आणि बाजू AB एकाच वेळी दोनसाठी समान असेल आणि OS ही पुढील त्रिज्या असेल ज्यामधून तेच वर्तुळ जाते. असे एकूण सहा त्रिकोण असतील आणि त्यांना O बिंदूवर एक समान शिरोबिंदू असेल. असे दिसून आले की वर्तुळाचे वर्णन करणे शक्य होईल आणि ते फक्त एकच आहे आणि त्याची त्रिज्या हेक्सच्या बाजूएवढी आहे. :

म्हणूनच कंपास आणि शासक वापरून ही आकृती तयार करणे शक्य आहे.

बरं, या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मानक असेल:

अंकित मंडळ

अंकित वर्तुळाचे केंद्र कोरलेल्या वर्तुळाच्या केंद्राशी एकरूप असेल. याची पडताळणी करण्यासाठी, तुम्ही O बिंदूपासून षटकोनाच्या बाजूंना लंब काढू शकता. ते षटकोन बनवणाऱ्या त्रिकोणांच्या उंची असतील. आणि समद्विभुज त्रिकोणामध्ये, ती ज्या बाजूवर असते त्या बाजूच्या संबंधात उंची ही मध्यक असते. अशा प्रकारे, ही उंची मध्य-लंबापेक्षा जास्त काही नाही, जी कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे.

समभुज त्रिकोणाची उंची सहज मोजली जाते:

h² = a²- (a / 2) ² = a²3 / 4, h = a (√3) / 2

आणि R = a आणि r = h असल्याने, असे दिसून येते

r = R (√3) / 2.

अशा प्रकारे, कोरलेले वर्तुळ नियमित षटकोनाच्या बाजूंच्या केंद्रांमधून जाते.

त्याचे क्षेत्रफळ असेल:

S = 3πa² / 4,

म्हणजेच वर्णन केलेल्या तीन चतुर्थांश.

परिमिती आणि क्षेत्रफळ

परिमितीसह सर्व काही स्पष्ट आहे, ही बाजूंच्या लांबीची बेरीज आहे:

P = 6a, किंवा P = 6R

परंतु क्षेत्रफळ सर्व सहा त्रिकोणांच्या बेरजेइतके असेल ज्यामध्ये षटकोन विभागले जाऊ शकते. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ पाया आणि उंचीच्या अर्ध्या गुणाप्रमाणे मोजले जात असल्याने:

S = 6 (a / 2) (a (√3) / 2) = 6а² (√3) / 4 = 3а² (√3) / 2किंवा

S = 3R² (√3) / 2

ज्यांना अंकित वर्तुळाच्या त्रिज्याद्वारे या क्षेत्राची गणना करायची आहे ते खालीलप्रमाणे केले जाऊ शकतात:

S = 3 (2r / √3) ² (√3) / 2 = r² (2√3)

मनोरंजक बांधकामे

षटकोनीमध्ये, आपण एक त्रिकोण लिहू शकता, ज्याच्या बाजू शिरोबिंदूंना एकाद्वारे जोडतील:

त्यापैकी एकूण दोन असतील आणि त्यांचे एकमेकांवरील सुपरपोझिशन डेव्हिडचा स्टार देईल. यातील प्रत्येक त्रिकोण समभुज आहे. हे पटणे अवघड नाही. जर तुम्ही AC बाजूला बघितले तर ते एकाच वेळी दोन त्रिकोणांचे आहे - BAC आणि AEC. जर त्यापैकी पहिल्यामध्ये AB = BC असेल आणि त्यांच्यामधील कोन 120 ° असेल, तर उर्वरित प्रत्येक 30 ° असेल. यावरून, आपण तार्किक निष्कर्ष काढू शकतो:

1. sin30 ° = 1/2 पासून, शिरोबिंदू B पासूनची उंची ABC षटकोनाच्या अर्ध्या बाजूची असेल. ज्यांना हे पटवून द्यायचे आहे त्यांना पायथागोरियन प्रमेयानुसार पुन्हा मोजण्याचा सल्ला दिला जाऊ शकतो, तो येथे अगदी तंतोतंत बसतो.
2. AC ची बाजू कोरलेल्या वर्तुळाच्या दोन त्रिज्येएवढी असेल, जी पुन्हा त्याच प्रमेयाने मोजली जाते. म्हणजेच, AC = 2 (a (√3) / 2) = a (√3).
3. त्रिकोण ABC, CDE आणि AEF दोन्ही बाजू आणि त्यांच्यामधील कोन समान आहेत आणि म्हणून AC, CE आणि EA बाजूंची समानता.

एकमेकांना ओलांडताना, त्रिकोण नवीन षटकोनी बनवतात आणि ते नियमित देखील असतात. हे फक्त सिद्ध झाले आहे:

अशा प्रकारे, आकृती नियमित षटकोनाची वैशिष्ट्ये पूर्ण करते - तिच्या सहा समान बाजू आणि कोन आहेत. शिरोबिंदूंवरील त्रिकोणांच्या समानतेवरून, नवीन हेक्सच्या बाजूची लांबी काढणे सोपे आहे:

d = a (√3) / 3

ती त्याच्याभोवती वर्णन केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या देखील असेल. कोरलेली त्रिज्या मोठ्या षटकोनाच्या अर्ध्या बाजूची असेल, जी त्रिकोण ABC विचारात घेताना सिद्ध झाली. त्याची उंची बाजूच्या फक्त अर्धी आहे, म्हणून, दुसरा अर्धा भाग लहान षटकोनीमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या आहे:

r₂ = a / 2

S = (3 (√3) / 2) (a (√3) / 3) ² = a (√3) / 2

असे दिसून आले की डेव्हिडच्या तार्‍याच्या आतील षटकोनीचे क्षेत्रफळ मोठ्या तारेपेक्षा तीन पट कमी आहे, ज्यामध्ये तारा कोरला आहे.

सिद्धांतापासून सरावापर्यंत

षटकोनाचे गुणधर्म निसर्गात आणि मानवी क्रियाकलापांच्या विविध क्षेत्रात अतिशय सक्रियपणे वापरले जातात. सर्व प्रथम, हे बोल्ट आणि नटांवर लागू होते - जर आपण चेम्फर्स विचारात न घेतल्यास, पहिल्या आणि द्वितीयच्या टोप्या योग्य षटकोनापेक्षा अधिक काही नसतात. रेंचचा आकार कोरलेल्या वर्तुळाच्या व्यासाशी संबंधित आहे - म्हणजेच, विरुद्ध चेहर्यांमधील अंतर.

षटकोनी फरशा देखील त्यांचा अनुप्रयोग सापडला आहे. हे चतुर्भुज पेक्षा खूपच कमी सामान्य आहे, परंतु ते घालणे अधिक सोयीस्कर आहे: तीन फरशा एका टप्प्यावर भेटतात, चार नव्हे. रचना खूप मनोरंजक असू शकतात:

काँक्रीट फरसबंदी स्लॅब देखील तयार केले जातात.

निसर्गातील षटकोनाचा प्रसार सहजपणे केला जाऊ शकतो. अशा प्रकारे, वर्तुळे आणि गोळे समान व्यास असल्यास विमानात घट्ट बसवणे सर्वात सोपे आहे. यामुळे, मधाच्या पोळ्याला असा आकार असतो.

षटकोनी एक बहुभुज आहे ज्यामध्ये 6 बाजू आणि 6 कोपरे आहेत. षटकोन नियमित आहे की नाही यावर अवलंबून, त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी अनेक पद्धती आहेत. आम्ही सर्वकाही कव्हर करू.

नियमित षटकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे

नियमित षटकोनाचे क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी सूत्रे - सहा समान बाजू असलेला बहिर्वक्र बहुभुज.

बाजूची लांबी दिल्यास:

• क्षेत्रफळाचे सूत्र: S = (3√3 * a²) / 2
• बाजू a ची लांबी ज्ञात असल्यास, त्यास सूत्रामध्ये बदलल्यास, आपण आकृतीचे क्षेत्रफळ सहज शोधू शकतो.
• अन्यथा, बाजूची लांबी परिमिती आणि अपोथेममध्ये आढळू शकते.
• जर परिमिती दिली असेल, तर आपण त्यास 6 ने विभाजित करू आणि एका बाजूची लांबी मिळवू. उदाहरणार्थ, जर परिमिती 24 असेल, तर बाजूची लांबी 24/6 = 4 असेल.
• एपोथेमा हा मध्यभागापासून एका बाजूने काढलेला लंब आहे. एका बाजूची लांबी शोधण्यासाठी, आम्ही a = 2 * m / √3 या सूत्रामध्ये एपोथेमची लांबी बदलतो. म्हणजेच, जर अपोथेम m = 2√3 असेल, तर बाजूची लांबी a = 2 * 2√3 / √3 = 4 असेल.

दाना अपोथेम:

• क्षेत्र सूत्र: S = 1/2 * p * m, जेथे p परिमिती आहे, m हे अपोथेम आहे.
• एपोथेमद्वारे षटकोनाची परिमिती शोधा. मागील परिच्छेदामध्ये, आपण apothem द्वारे एका बाजूची लांबी कशी शोधायची ते शिकलो: a = 2 * m / √3. हा परिणाम फक्त 6 ने गुणाकार करणे बाकी आहे. आम्हाला परिमिती सूत्र मिळते: p = 12 * m / √3.

परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या दिली आहे:

• नियमित षटकोनाभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या या षटकोनाच्या बाजूएवढी असते.
  क्षेत्रफळाचे सूत्र: S = (3√3 * a²) / 2

कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या दिली आहे:

• क्षेत्रफळ सूत्र: S = 3√3 * r², जेथे r = √3 * a / 2 (a ही बहुभुजाच्या बाजूंपैकी एक आहे).

अनियमित षटकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे

अनियमित षटकोनाचे क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी सूत्रे - एक बहुभुज ज्याच्या बाजू एकमेकांच्या समान नसतात.

ट्रॅपेझियम पद्धत:

• आम्ही हेक्सागोनला अनियंत्रित ट्रॅपेझॉइड्समध्ये विभाजित करतो, त्या प्रत्येकाच्या क्षेत्राची गणना करतो आणि त्यांना जोडतो.
• ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्रासाठी मूलभूत सूत्रे: S = 1/2 * (a + b) * h, जेथे a आणि b हे ट्रॅपेझॉइडचे तळ आहेत, h ही उंची आहे.
  S = h * m, जेथे h ही उंची आहे, m ही मधली रेषा आहे.

षटकोनाच्या शिरोबिंदूंचे समन्वय ओळखले जातात:

• सुरुवातीला, बिंदूंचे निर्देशांक लिहूया, शिवाय, त्यांना गोंधळलेल्या क्रमाने न ठेवता, परंतु क्रमशः एकामागून एक. उदाहरणार्थ:
  A: (-3, -2)
  ब: (-1, 4)
  क: (6, 1)
  डी: (३, १०)
  इ: (-4, 9)
  F: (-5, 6)
• पुढे, काळजीपूर्वक, आम्ही प्रत्येक बिंदूचा x समन्वय पुढील बिंदूच्या y समन्वयाने गुणाकार करतो:
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  आम्ही परिणाम जोडतो:
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  पुढे, आपण प्रत्येक बिंदूचा y समन्वय पुढील बिंदूच्या x समन्वयाने गुणाकार करतो.
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  आम्ही परिणाम जोडतो:
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  पहिल्या निकालातून दुसरा वजा करा:
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  परिणामी संख्या दोनने विभाजित करा:
  134/2 = 67
  उत्तर: 67 चौरस युनिट.

• तसेच, षटकोनीचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्ही त्यास त्रिकोण, चौरस, आयत, समांतरभुज चौकोन इत्यादींमध्ये विभाजित करू शकता. त्यातील घटक आकृत्यांचे क्षेत्र शोधा आणि त्यांना जोडा.

म्हणून, सर्व प्रसंगांसाठी षटकोनाचे क्षेत्रफळ शोधण्याच्या पद्धतींचा अभ्यास केला गेला आहे. आता पुढे जा, मिळवलेले ज्ञान लागू करा! शुभेच्छा!

तुम्हाला माहित आहे की नियमित षटकोन कसा दिसतो?
हा प्रश्न योगायोगाने विचारला गेला नाही. बहुतेक 11वीच्या विद्यार्थ्यांना उत्तर माहित नाही.

एक नियमित षटकोन एक आहे ज्यामध्ये सर्व बाजू समान असतात आणि सर्व कोन देखील समान असतात.

लोखंडी नट. स्नोफ्लेक. मधमाशा ज्यामध्ये मधमाश्या राहतात. बेंझिन रेणू. या वस्तूंमध्ये काय साम्य आहे? - त्या सर्वांचा नियमित षटकोनी आकार आहे हे तथ्य.

बर्‍याच शाळकरी मुलांचे नुकसान होते जेव्हा ते नियमित षटकोनीसह समस्या पाहतात आणि ते सोडवण्यासाठी काही विशेष सूत्रे आवश्यक आहेत असा विश्वास करतात. असे आहे का?

नियमित षटकोनाचे कर्ण काढू. आम्हाला सहा समभुज त्रिकोण मिळाले.

आपल्याला माहित आहे की नियमित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:.

मग नियमित षटकोनाचे क्षेत्रफळ सहा पटीने मोठे असते.

नेहमीच्या षटकोनीची बाजू कुठे असते.

लक्षात घ्या की नियमित षटकोनामध्ये, त्याच्या केंद्रापासून कोणत्याही शिरोबिंदूपर्यंतचे अंतर नियमित षटकोनाच्या बाजूच्या समान आणि समान असते.

याचा अर्थ नियमित षटकोनाभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या त्याच्या बाजूएवढी असते.
नियमित षटकोनीमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधणे सोपे आहे.
समान आहे.
आता आपण परीक्षेच्या कोणत्याही समस्या सहजपणे सोडवू शकता ज्यामध्ये नियमित षटकोनी दिसते.

एका बाजूसह नियमित षटकोनीमध्ये कोरलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधा.

अशा वर्तुळाची त्रिज्या आहे.

उत्तर:.

6 च्या त्रिज्या असलेल्या वर्तुळात कोरलेल्या नियमित षटकोनाची बाजू काय आहे?

आपल्याला माहित आहे की नियमित षटकोनाची बाजू तिच्याभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्याएवढी असते.