Matemātikas stunda "koordinātu līnija". Koordinātu taisne (skaitļu līnija), koordinātu stars Kas ir punktu pāri uz koordinātu taisnes

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar koordinātu līnijas jēdzienu, atvasināsim tās galvenās īpašības un īpašības. Formulēsim un mācīsimies atrisināt galvenos uzdevumus. Atrisināsim dažus piemērus par šo problēmu kombināciju.

No ģeometrijas kursa mēs zinām, kas ir taisne, bet kas jādara ar parastu taisni, lai tā kļūtu par koordinātu?

1) Izvēlieties sākuma punktu;

2) Izvēlieties virzienu;

3) Izvēlieties mērogu;

1. attēlā parādīta parasta taisne, bet 2. attēlā - koordinātu līnija.

Koordinātu līnija ir tāda taisne l, uz kuras ir izvēlēts sākuma punkts O - izcelsme, skala ir vienības segments, tas ir, tāds posms, kura garums tiek uzskatīts par vienādu ar vienu, un a pozitīvs virziens.

Koordinātu līniju sauc arī par koordinātu asi vai X asi.

Noskaidrosim, kāpēc mums ir nepieciešama koordinātu līnija, šim nolūkam mēs definējam tās galveno īpašību. Koordinātu līnija nosaka vienlīdzīgu atbilstību starp visu skaitļu kopu un visu punktu kopu šajā taisnē. Šeit ir daži piemēri:

Tiek doti divi skaitļi: (“+” zīme, modulis ir trīs) un (zīme “-”, modulis ir trīs). Uzzīmēsim šos skaitļus uz koordinātu līnijas:

Šeit skaitli sauc par A koordinātu, skaitli sauc par B koordinātu.

Viņi arī saka, ka skaitļa attēls ir punkts C ar koordinātu, un skaitļa attēls ir punkts D ar koordinātu:

Tātad, tā kā koordinātu līnijas galvenā īpašība ir viena pret vienu atbilstības izveidošana starp punktiem un skaitļiem, rodas divi galvenie uzdevumi: norādīt punktu ar noteiktu skaitli, mēs to jau esam izdarījuši iepriekš, un norādīt skaitlis pēc noteikta punkta. Apsveriet otrā uzdevuma piemēru:

Dot punktu M:

Lai noteiktu skaitli no noteiktā punkta, vispirms ir jānosaka attālums no atskaites punktiem līdz punktam. Šajā gadījumā attālums ir divi. Tagad jums ir jānosaka skaitļa zīme, tas ir, kurā taisnes starā atrodas punkts M. Šajā gadījumā punkts atrodas pa labi no atskaites punkta, pozitīvajā starā, kas nozīmē skaitli. būs “+” zīme.

Paņemsim vēl vienu punktu un no tā noteiksim skaitli:

Attālums no atskaites punkta līdz punktam, līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, ir vienāds ar divi, taču šajā gadījumā punkts atrodas pa kreisi no atskaites punkta uz negatīvā stara, kas nozīmē, ka punkts N raksturo skaitli

Visas tipiskās problēmas, kas saistītas ar koordinātu līniju, ir kaut kādā veidā saistītas ar tās galveno īpašību un divām galvenajām problēmām, kuras esam formulējuši un atrisinājuši.

Tipiski uzdevumi ietver:

-jāprot izvietot punktus un to koordinātes;

-saprast skaitļu salīdzinājumu:

izteiksme nozīmē, ka punkts C ar koordinātu 4 atrodas pa labi no punkta M ar koordinātu 2:

Un otrādi, ja mums tiek dota punktu atrašanās vieta uz koordinātu līnijas, mums jāsaprot, ka to koordinātas ir saistītas ar noteiktu attiecību:

Doti punkti M(x M) un N(x N):

Mēs redzam, ka punkts M atrodas pa labi no punkta n, kas nozīmē, ka to koordinātas ir saistītas kā

-Attāluma noteikšana starp punktiem.

Mēs zinām, ka attālums starp punktiem X un A ir vienāds ar skaitļa moduli. Doti divi punkti:

Tad attālums starp tiem būs:

Vēl viens ļoti svarīgs uzdevums ir skaitlisko kopu ģeometriskais apraksts.

Apsveriet staru, kas atrodas uz koordinātu ass, neietver tā izcelsmi, bet ietver visus pārējos punktus:

Tātad mums ir punktu kopa, kas atrodas uz koordinātu ass. Aprakstīsim skaitļu kopu, kuru raksturo dotā punktu kopa. Šādu skaitļu un punktu ir bezgalīgi daudz, tāpēc šis ieraksts izskatās šādi:

Izdarīsim paskaidrojumu: otrajā apzīmējuma variantā, ja viņi ieliek apaļo iekava "(" nozīmē galējo skaitli - šajā gadījumā skaitlis 3, komplektā neietilpst, bet, ja ievietojat kvadrātiekava " [", tad galējais skaitlis ir iekļauts komplektā.

Tātad, mēs esam analītiski uzrakstījuši skaitlisko kopu, kas raksturo noteiktu punktu kopu. analītiskais apzīmējums, kā jau teicām, tiek veikts vai nu nevienādības, vai intervāla veidā.

Tiek dots punktu kopums:

Šajā gadījumā komplektā ir iekļauts punkts a=3. Analītiski aprakstīsim skaitļu kopu:

Ņemiet vērā, ka aiz vai pirms bezgalības zīmes vienmēr tiek liktas iekavas, jo mēs nekad nesasniegsim bezgalību, un skaitlis var būt vai nu apaļiekava, vai kvadrātiekava atkarībā no uzdevuma nosacījumiem.

Apsveriet apgrieztas problēmas piemēru.

Dota koordinātu līnija. Uzzīmējiet uz tā punktu kopu, kas atbilst skaitliskajai kopai, un:

Koordinātu līnija nosaka vienu pret vienu atbilstību starp jebkuru punktu un skaitli, un līdz ar to starp skaitliskām kopām un punktu kopām. Mēs esam apsvēruši starus, kas vērsti gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, iekļaujot to virsotni un neiekļaujot to. Tagad apskatīsim segmentus.

10. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet atbilstošo punktu kopu

11. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet punktu kopu:

Dažreiz, lai parādītu, ka segmenta gali nav iekļauti komplektā, tiek uzzīmētas bultiņas:

12. piemērs:

Dota skaitļu kopa. Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Atrodiet mazāko skaitli no intervāla:

Atrodiet lielāko skaitli no intervāla , ja tāds pastāv:

Mēs varam atņemt patvaļīgi mazu skaitli no astoņiem un teikt, ka rezultāts būs lielākais skaitlis, bet mēs uzreiz atradīsim vēl mazāku skaitli, un atņemšanas rezultāts palielināsies tā, ka nav iespējams atrast lielāko skaitli. šis intervāls.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka nav iespējams atrast tuvāko skaitli nevienam skaitlim uz koordinātu līnijas, jo vienmēr būs skaitlis, kas ir vēl tuvāks.

Cik naturālu skaitļu ir dotajā intervālā?

No intervāla mēs izvēlamies šādus naturālus skaitļus: 4, 5, 6, 7 - četri naturālie skaitļi.

Atcerieties, ka naturālie skaitļi ir skaitļi, ko izmanto skaitīšanai.

Paņemsim vēl vienu komplektu.

13. piemērs:

Dota skaitļu kopa

Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar koordinātu līnijas jēdzienu, atvasināsim tās galvenās īpašības un īpašības. Formulēsim un mācīsimies atrisināt galvenos uzdevumus. Atrisināsim dažus piemērus par šo problēmu kombināciju.

No ģeometrijas kursa mēs zinām, kas ir taisne, bet kas jādara ar parastu taisni, lai tā kļūtu par koordinātu?

1) Izvēlieties sākuma punktu;

2) Izvēlieties virzienu;

3) Izvēlieties mērogu;

1. attēlā parādīta parasta taisne, bet 2. attēlā - koordinātu līnija.

Koordinātu līnija ir tāda taisne l, uz kuras ir izvēlēts sākuma punkts O - izcelsme, skala ir vienības segments, tas ir, tāds posms, kura garums tiek uzskatīts par vienādu ar vienu, un a pozitīvs virziens.

Koordinātu līniju sauc arī par koordinātu asi vai X asi.

Noskaidrosim, kāpēc mums ir nepieciešama koordinātu līnija, šim nolūkam mēs definējam tās galveno īpašību. Koordinātu līnija nosaka vienlīdzīgu atbilstību starp visu skaitļu kopu un visu punktu kopu šajā taisnē. Šeit ir daži piemēri:

Tiek doti divi skaitļi: (“+” zīme, modulis ir trīs) un (zīme “-”, modulis ir trīs). Uzzīmēsim šos skaitļus uz koordinātu līnijas:

Šeit skaitli sauc par A koordinātu, skaitli sauc par B koordinātu.

Viņi arī saka, ka skaitļa attēls ir punkts C ar koordinātu, un skaitļa attēls ir punkts D ar koordinātu:

Tātad, tā kā koordinātu līnijas galvenā īpašība ir viena pret vienu atbilstības izveidošana starp punktiem un skaitļiem, rodas divi galvenie uzdevumi: norādīt punktu ar noteiktu skaitli, mēs to jau esam izdarījuši iepriekš, un norādīt skaitlis pēc noteikta punkta. Apsveriet otrā uzdevuma piemēru:

Dot punktu M:

Lai noteiktu skaitli no noteiktā punkta, vispirms ir jānosaka attālums no atskaites punktiem līdz punktam. Šajā gadījumā attālums ir divi. Tagad jums ir jānosaka skaitļa zīme, tas ir, kurā taisnes starā atrodas punkts M. Šajā gadījumā punkts atrodas pa labi no atskaites punkta, pozitīvajā starā, kas nozīmē skaitli. būs “+” zīme.

Paņemsim vēl vienu punktu un no tā noteiksim skaitli:

Attālums no atskaites punkta līdz punktam, līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, ir vienāds ar divi, taču šajā gadījumā punkts atrodas pa kreisi no atskaites punkta uz negatīvā stara, kas nozīmē, ka punkts N raksturo skaitli

Visas tipiskās problēmas, kas saistītas ar koordinātu līniju, ir kaut kādā veidā saistītas ar tās galveno īpašību un divām galvenajām problēmām, kuras esam formulējuši un atrisinājuši.

Tipiski uzdevumi ietver:

-jāprot izvietot punktus un to koordinātes;

-saprast skaitļu salīdzinājumu:

izteiksme nozīmē, ka punkts C ar koordinātu 4 atrodas pa labi no punkta M ar koordinātu 2:

Un otrādi, ja mums tiek dota punktu atrašanās vieta uz koordinātu līnijas, mums jāsaprot, ka to koordinātas ir saistītas ar noteiktu attiecību:

Doti punkti M(x M) un N(x N):

Mēs redzam, ka punkts M atrodas pa labi no punkta n, kas nozīmē, ka to koordinātas ir saistītas kā

-Attāluma noteikšana starp punktiem.

Mēs zinām, ka attālums starp punktiem X un A ir vienāds ar skaitļa moduli. Doti divi punkti:

Tad attālums starp tiem būs:

Vēl viens ļoti svarīgs uzdevums ir skaitlisko kopu ģeometriskais apraksts.

Apsveriet staru, kas atrodas uz koordinātu ass, neietver tā izcelsmi, bet ietver visus pārējos punktus:

Tātad mums ir punktu kopa, kas atrodas uz koordinātu ass. Aprakstīsim skaitļu kopu, kuru raksturo dotā punktu kopa. Šādu skaitļu un punktu ir bezgalīgi daudz, tāpēc šis ieraksts izskatās šādi:

Izdarīsim paskaidrojumu: otrajā apzīmējuma variantā, ja viņi ieliek apaļo iekava "(" nozīmē galējo skaitli - šajā gadījumā skaitlis 3, komplektā neietilpst, bet, ja ievietojat kvadrātiekava " [", tad galējais skaitlis ir iekļauts komplektā.

Tātad, mēs esam analītiski uzrakstījuši skaitlisko kopu, kas raksturo noteiktu punktu kopu. analītiskais apzīmējums, kā jau teicām, tiek veikts vai nu nevienādības, vai intervāla veidā.

Tiek dots punktu kopums:

Šajā gadījumā komplektā ir iekļauts punkts a=3. Analītiski aprakstīsim skaitļu kopu:

Ņemiet vērā, ka aiz vai pirms bezgalības zīmes vienmēr tiek liktas iekavas, jo mēs nekad nesasniegsim bezgalību, un skaitlis var būt vai nu apaļiekava, vai kvadrātiekava atkarībā no uzdevuma nosacījumiem.

Apsveriet apgrieztas problēmas piemēru.

Dota koordinātu līnija. Uzzīmējiet uz tā punktu kopu, kas atbilst skaitliskajai kopai, un:

Koordinātu līnija nosaka vienu pret vienu atbilstību starp jebkuru punktu un skaitli, un līdz ar to starp skaitliskām kopām un punktu kopām. Mēs esam apsvēruši starus, kas vērsti gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, iekļaujot to virsotni un neiekļaujot to. Tagad apskatīsim segmentus.

10. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet atbilstošo punktu kopu

11. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet punktu kopu:

Dažreiz, lai parādītu, ka segmenta gali nav iekļauti komplektā, tiek uzzīmētas bultiņas:

12. piemērs:

Dota skaitļu kopa. Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Atrodiet mazāko skaitli no intervāla:

Atrodiet lielāko skaitli no intervāla , ja tāds pastāv:

Mēs varam atņemt patvaļīgi mazu skaitli no astoņiem un teikt, ka rezultāts būs lielākais skaitlis, bet mēs uzreiz atradīsim vēl mazāku skaitli, un atņemšanas rezultāts palielināsies tā, ka nav iespējams atrast lielāko skaitli. šis intervāls.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka nav iespējams atrast tuvāko skaitli nevienam skaitlim uz koordinātu līnijas, jo vienmēr būs skaitlis, kas ir vēl tuvāks.

Cik naturālu skaitļu ir dotajā intervālā?

No intervāla mēs izvēlamies šādus naturālus skaitļus: 4, 5, 6, 7 - četri naturālie skaitļi.

Atcerieties, ka naturālie skaitļi ir skaitļi, ko izmanto skaitīšanai.

Paņemsim vēl vienu komplektu.

13. piemērs:

Dota skaitļu kopa

Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Tātad vienības segments un tā desmitā, simtā un tā tālāk daļas ļauj mums nokļūt līdz koordinātu līnijas punktiem, kas atbildīs pēdējām decimāldaļdaļām (kā iepriekšējā piemērā). Taču uz koordinātu līnijas ir punkti, kurus nevaram trāpīt, bet kuriem varam patvaļīgi pietuvoties, izmantojot arvien mazākus līdz bezgalīgi mazai vienības segmenta daļai. Šie punkti atbilst bezgalīgām periodiskām un neperiodiskām decimāldaļdaļām. Sniegsim dažus piemērus. Viens no šiem punktiem koordinātu taisnē atbilst skaitlim 3.711711711…=3,(711) . Lai tuvotos šim punktam, jums ir jāatliek 3 vienības segmenti, 7 no tās desmitdaļas, 1 simtā daļa, 1 tūkstošdaļa, 7 desmittūkstošdaļas, 1 simts tūkstošdaļas, 1 miljonā vienības segmenta utt. Un vēl viens koordinātu līnijas punkts atbilst pi (π=3,141592...).

Tā kā reālo skaitļu kopas elementi ir visi skaitļi, kurus var uzrakstīt galīgu un bezgalīgu decimāldaļskaitļu veidā, tad visa iepriekš sniegtā informācija šajā punktā ļauj mums apgalvot, ka mēs esam piešķīruši noteiktu reālo skaitli katram punktam. koordinātu līniju, kamēr ir skaidrs, ka dažādi punkti atbilst dažādiem reāliem skaitļiem.

Ir arī pilnīgi skaidrs, ka šī sarakste ir viena pret vienu. Tas ir, mēs varam saistīt noteiktu punktu koordinātu taisnē ar reālu skaitli, bet mēs varam arī izmantot doto reālo skaitli, lai norādītu konkrētu punktu koordinātu taisnē, kuram atbilst šis reālais skaitlis. Lai to izdarītu, mums būs jāatliek noteikts skaits vienības segmentu, kā arī viena segmenta desmitdaļas, simtdaļas un tā tālāk no sākuma pareizajā virzienā. Piemēram, skaitlis 703.405 atbilst punktam uz koordinātu līnijas, kuru var sasniegt no sākuma, atliekot 703 vienības segmentus pozitīvā virzienā, 4 segmentus, kas veido desmito daļu no vienības, un 5 segmentus, kas veido tūkstošdaļa vienības.

Tātad katrs koordinātu līnijas punkts atbilst reālam skaitlim, un katram reālajam skaitlim ir sava vieta koordinātu līnijas punkta veidā. Tāpēc bieži tiek saukta koordinātu līnija skaitļa līnija.

Punktu koordinātas uz koordinātu līnijas

Tiek izsaukts skaitlis, kas atbilst punktam uz koordinātu līnijas šī punkta koordinātas.

Iepriekšējā rindkopā mēs teicām, ka katrs reālais skaitlis atbilst vienam punktam uz koordinātu līnijas, tāpēc punkta koordināte unikāli nosaka šī punkta atrašanās vietu koordinātu taisnē. Citiem vārdiem sakot, punkta koordināte unikāli definē šo punktu uz koordinātu līnijas. No otras puses, katrs punkts koordinātu taisnē atbilst vienam reālam skaitlim - šī punkta koordinātei.

Atliek teikt tikai par pieņemto apzīmējumu. Punkta koordinātu raksta iekavās pa labi no burta, kas apzīmē punktu. Piemēram, ja punkta M koordināte ir -6, tad var rakstīt M(-6) , un formas apzīmējums nozīmē, ka koordinātu līnijas punktam M ir koordināte.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika: mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
• Viļenkins N.Ya. utt. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.

Šis raksts ir veltīts tādu jēdzienu kā koordinātu stars un koordinātu līnija analīzei. Mēs pievērsīsimies katrai koncepcijai un detalizēti aplūkosim piemērus. Pateicoties šim rakstam, jūs varat atsvaidzināt savas zināšanas vai iepazīties ar tēmu bez skolotāja palīdzības.

Lai definētu koordinātu staru jēdzienu, ir jābūt priekšstatam par to, kas ir stars.

1. definīcija

Rejs- šī ir ģeometriska figūra, kurai ir koordinātu stara izcelsme un kustības virziens. Taisna līnija parasti tiek attēlota horizontāli, norādot virzienu pa labi.

Piemērā redzams, ka O ir stara sākums.

1. piemērs

Koordinātu stars ir attēlots saskaņā ar to pašu shēmu, taču ievērojami atšķiras. Mēs uzstādām atskaites punktu un izmērām vienu segmentu.

2. piemērs

2. definīcija

Viens segments ir attālums no 0 līdz mērīšanai izvēlētajam punktam.

3. piemērs

No viena segmenta beigām jums ir jāatliek daži sitieni un jāveic uzcenojums.

Pateicoties manipulācijām, ko veicām ar staru, tas kļuva par koordinātu. Pierakstiet sitienus ar naturāliem skaitļiem secībā no 1 - piemēram, 2 , 3 , 4 , 5 ...

4. piemērs

3. definīcija

ir mērogs, kas var turpināties bezgalīgi.

Bieži vien tas tiek attēlots kā stars ar sākumu punktā O, un viens vienības segments ir nolikts malā. Piemērs ir parādīts attēlā.

5. piemērs

Jebkurā gadījumā mēs varēsim turpināt mērogu līdz vajadzīgajam skaitam. Jūs varat rakstīt ciparus, kā jums patīk - zem sijas vai virs tā.

6. piemērs

Lai parādītu staru koordinātas, var izmantot gan lielos, gan mazos burtus.

Koordinātu līnijas attēla princips ir praktiski tāds pats kā stara attēlam. Tas ir vienkārši - uzzīmējiet staru un pabeidziet to līdz taisnai līnijai, dodot pozitīvu virzienu, ko norāda bultiņa.

7. piemērs

Zīmējiet staru pretējā virzienā, pievienojot to taisnai līnijai

8. piemērs

Atlieciet atsevišķus segmentus saskaņā ar iepriekš minēto piemēru

Kreisajā pusē pierakstiet naturālos skaitļus 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... ar pretējo zīmi. Pievērsiet uzmanību piemēram.

9. piemērs

Varat atzīmēt tikai izcelsmi un atsevišķus segmentus. Skatiet piemēru, lai redzētu, kā tas izskatīsies.

10. piemērs

4. definīcija

- tā ir taisna līnija, kas ir attēlota ar noteiktu atskaites punktu, kas tiek pieņemts kā 0, viens segments un noteikts kustības virziens.

Atbilstība starp koordinātu taisnes punktiem un reāliem skaitļiem

Koordinātu līnijā var būt daudz punktu. Tie ir tieši saistīti ar reāliem skaitļiem. To var definēt kā savstarpēju saraksti.

5. definīcija

Katrs koordinātu līnijas punkts atbilst vienam reālam skaitlim, un katrs reālais skaitlis atbilst vienam punktam uz koordinātu līnijas.

Lai labāk izprastu noteikumu, jāatzīmē punkts uz koordinātu līnijas un jāskatās, kurš naturālais skaitlis atbilst atzīmei. Ja šis punkts sakrīt ar izcelsmi, tas tiks atzīmēts ar nulli. Ja punkts nesakrīt ar izcelsmi, mēs noliekam malā nepieciešamo vienību segmentu skaitu, līdz sasniedzam norādīto atzīmi. Zem tā rakstītais skaitlis atbildīs šim punktam. Tālāk esošajā piemērā mēs vizuāli parādīsim šo noteikumu.

11. piemērs

Ja mēs nevaram atrast punktu, atceļot atsevišķus segmentus, mums jāatzīmē arī punkti, kas veido vienu desmito, simto vai tūkstošdaļu no viena segmenta. Šo noteikumu var detalizēti aplūkot ar piemēru.

Atliekot malā vairākus šādus segmentus, mēs varam iegūt ne tikai veselu, bet arī daļskaitli – gan pozitīvu, gan negatīvu.

Atzīmētie segmenti palīdzēs mums atrast vajadzīgo punktu uz koordinātu līnijas. Tie var būt gan veseli skaitļi, gan daļskaitļi. Tomēr uz līnijas ir punkti, kurus ir ļoti grūti atrast, izmantojot atsevišķus segmentus. Šie punkti atbilst decimāldaļskaitļiem. Lai meklētu līdzīgu punktu, jums būs jāatvēl viens segments, desmitā, simtā, tūkstošā, desmittūkstošdaļa un citas tā daļas. Iracionāls skaitlis π (= 3, 141592 . . .) atbilst vienam koordinātu līnijas punktam.

Reālo skaitļu kopa ietver visus skaitļus, kurus var uzrakstīt kā daļu. Tas ļauj noteikt noteikumu.

6. definīcija

Katrs koordinātu līnijas punkts atbilst noteiktam reālam skaitlim. Dažādi punkti nosaka dažādus reālos skaitļus.

Šī atbilstība ir unikāla – katrs punkts atbilst noteiktam reālam skaitlim. Bet tas darbojas arī otrādi. Mēs varam arī norādīt konkrētu punktu koordinātu taisnē, kas atsauksies uz konkrētu reālo skaitli. Ja skaitlis nav vesels skaitlis, mums ir jāatzīmē vairāki atsevišķi segmenti, kā arī desmitdaļas, simtdaļas noteiktā virzienā. Piemēram, skaitlis 400350 atbilst punktam koordinātu taisnē, kuru var sasniegt no sākuma, atliekot 400 vienību segmentus pozitīvā virzienā, 3 segmentus, kas veido desmito daļu vienības, un 5 segmentus - tūkstošdaļu. .

Nav iespējams apgalvot, ka zināt matemātiku, ja nezināt, kā uzzīmēt grafikus, zīmēt nevienādības uz koordinātu līnijas un strādāt ar koordinātu asīm. Vizuālais komponents zinātnē ir vitāli svarīgs, jo bez vizuāliem piemēriem formulās un aprēķinos dažkārt var ļoti apjukt. Šajā rakstā mēs redzēsim, kā strādāt ar koordinātu asīm, un uzzināsim, kā izveidot vienkāršus funkciju grafikus.

Pieteikums

Koordinātu līnija ir pamatā vienkāršākajiem grafiku veidiem, ar kuriem skolēns saskaras savā izglītības ceļā. To izmanto gandrīz katrā matemātikas tēmā: aprēķinot ātrumu un laiku, projicējot objektu izmērus un aprēķinot to laukumu, trigonometrijā, strādājot ar sinusiem un kosinusiem.

Šādas tiešās līnijas galvenā vērtība ir redzamība. Tā kā matemātika ir zinātne, kas prasa augstu abstraktās domāšanas līmeni, grafiki palīdz attēlot objektu reālajā pasaulē. Kā viņš uzvedas? Kurā kosmosa punktā tas būs pēc dažām sekundēm, minūtēm, stundām? Ko par to var teikt salīdzinājumā ar citiem objektiem? Kāds ir tā ātrums nejauši izvēlētā laikā? Kā raksturot viņa kustību?

Un mēs ne velti runājam par ātrumu – to bieži parāda funkciju grafiki. Un tie var arī parādīt temperatūras vai spiediena izmaiņas objekta iekšpusē, tā izmēru, orientāciju attiecībā pret horizontu. Tādējādi koordinātu līnijas konstruēšana bieži ir nepieciešama arī fizikā.

1D diagramma

Ir daudzdimensionalitātes jēdziens. Pietiek ar vienu skaitli, lai noteiktu punkta atrašanās vietu. Tieši tā ir ar koordinātu līnijas lietošanu. Ja telpa ir divdimensiju, tad ir nepieciešami divi skaitļi. Šāda veida diagrammas tiek izmantotas daudz biežāk, un mēs tās noteikti apsvērsim nedaudz tālāk rakstā.

Ko var redzēt ar punktu palīdzību uz ass, ja tas ir tikai viens? Var redzēt objekta izmēru, tā novietojumu telpā attiecībā pret kādu "nulli", t.i., par izcelsmi izvēlēto punktu.

Parametru izmaiņas laika gaitā nebūs iespējams redzēt, jo visi rādījumi tiks parādīti vienā noteiktā brīdī. Tomēr kaut kur jāsāk! Tātad sāksim.

Kā izveidot koordinātu asi

Vispirms jums jāvelk horizontāla līnija - tā būs mūsu ass. Labajā pusē "asiniet" to, lai tas izskatās kā bultiņa. Tādējādi mēs norādām virzienu, kurā skaitļi pieaugs. Virzienā uz leju bultiņa parasti netiek novietota. Tradicionāli ass ir vērsta pa labi, tāpēc mēs vienkārši ievērosim šo noteikumu.

Ieliksim nulles atzīmi, kas parādīs koordinātu izcelsmi. Šī ir vieta, no kuras tiek veikta atpakaļskaitīšana neatkarīgi no tā, vai tas ir izmērs, svars, ātrums vai jebkas cits. Papildus nullei mums obligāti jānorāda tā sauktā dalīšanas cena, t.i., jāievieš vienības standarts, saskaņā ar kuru mēs uz ass uzzīmēsim noteiktus daudzumus. Tas ir jādara, lai varētu atrast atzara garumu koordinātu taisnē.

Vienādā attālumā viens no otra uz līnijas ievietojam punktus vai “iecirtumus” un zem tiem rakstām attiecīgi 1,2,3 utt. Un tagad viss ir gatavs. Bet ar iegūto grafiku jums joprojām ir jāiemācās strādāt.

Punktu veidi uz koordinātu līnijas

No pirmā acu uzmetiena uz mācību grāmatās piedāvātajiem zīmējumiem kļūst skaidrs: punktus uz ass var aizpildīt vai neaizpildīt. Vai jūs domājat, ka tā ir nejaušība? Nepavisam! "Ciets" punkts tiek izmantots nevienlīdzībai, kas ir "lielāks par vai vienāds ar". Ja mums ir stingri jāierobežo intervāls (piemēram, "x" var ņemt vērtības no nulles līdz vienam, bet neietver to), mēs izmantosim "dobu" punktu, kas faktiski ir mazs aplis. uz ass. Jāpiebilst, ka skolēniem īsti nepatīk strikta nevienlīdzība, jo ar tām ir grūtāk strādāt.

Atkarībā no tā, kādus punktus izmantojat diagrammā, tiks nosaukti arī izveidotie intervāli. Ja nevienlīdzība abās pusēs nav stingra, tad iegūstam segmentu. Ja, no vienas puses, tas izrādīsies “atvērts”, tad to sauks par pusintervālu. Visbeidzot, ja līnijas daļu no abām pusēm ierobežo dobi punkti, to sauc par intervālu.

Lidmašīna

Konstruējot divas līnijas, mēs jau varam ņemt vērā funkciju grafikus. Pieņemsim, ka horizontālā līnija ir laika ass un vertikālā līnija ir attālums. Un tagad mēs varam noteikt, kādu attālumu objekts pārvarēs minūtes vai stundas laikā. Tādējādi darbs ar plakni dod iespēju uzraudzīt objekta stāvokļa izmaiņas. Tas ir daudz interesantāk nekā izpētīt statisku stāvokli.

Vienkāršākais grafiks uz šādas plaknes ir taisna līnija, kas atspoguļo funkciju Y(X) = aX + b. Vai līnija saliecas? Tas nozīmē, ka izpētes procesā objekts maina savas īpašības.

Iedomājieties, ka jūs stāvat uz ēkas jumta un turat akmeni izstieptā rokā. Atlaižot to, tas lidos uz leju, sākot kustību no nulles ātruma. Taču sekundē viņš pārvarēs 36 kilometrus stundā. Akmens turpinās paātrināties, un, lai uzzīmētu tā kustību kartē, būs jāmēra tā ātrums vairākos laika punktos, iestatot punktus uz ass atbilstošās vietās.

Atzīmes uz horizontālās koordinātu līnijas pēc noklusējuma tiek nosauktas X1, X2, X3, bet vertikālās - attiecīgi Y1, Y2, Y3. Projicējot tos plaknē un atrodot krustojumus, mēs atrodam iegūtā raksta fragmentus. Savienojot tos ar vienu līniju, mēs iegūstam funkcijas grafiku. Krītoša akmens gadījumā kvadrātfunkcija izskatīsies šādi: Y(X) = aX * X + bX + c.

Mērogs

Protams, nav nepieciešams iestatīt veselu skaitļu vērtības blakus dalījumiem ar taisnu līniju. Ja apsverat gliemeža kustību, kas rāpo ar ātrumu 0,03 metri minūtē, iestatiet kā vērtības koordinātu taisnē. Šajā gadījumā iestatiet dalījuma vērtību uz 0,01 metru.

Īpaši ērti ir veikt šādus zīmējumus piezīmju grāmatiņā būrī - šeit jūs varat uzreiz redzēt, vai uz lapas ir pietiekami daudz vietas jūsu grafikam, vai jūs pārsniegsit robežas. Nav grūti aprēķināt savu spēku, jo šūnas platums šādā piezīmju grāmatiņā ir 0,5 centimetri. Paņēma - samazināja attēlu. Mainot diagrammas mērogu, tas nezaudēs un nemainīs savas īpašības.

Punktu un līniju koordinātas

Ja stundā tiek uzdots matemātikas uzdevums, tas var saturēt dažādus parametrus ģeometriskās formas gan malu garumu, perimetra, laukuma, gan koordinātu veidā. Šādā gadījumā jums var būt nepieciešams gan izveidot formu, gan iegūt dažus ar to saistītos datus. Rodas jautājums: kā koordinātu līnijā atrast nepieciešamo informāciju? Un kā veidot figūru?

Piemēram, mēs runājam par punktu. Tad problēmas stāvoklī parādīsies lielais burts, un iekavās tiks parādīti vairāki cipari, visbiežāk divi (tas nozīmē, ka mēs skaitīsim divdimensiju telpā). Ja iekavās ir trīs skaitļi, kas atdalīti ar semikolu vai komatu, tad tā ir trīsdimensiju telpa. Katra no vērtībām ir koordināte uz atbilstošās ass: vispirms pa horizontāli (X), pēc tam pa vertikāli (Y).

Atcerieties, kā uzzīmēt segmentu? Jūs to nokārtojāt ģeometrijā. Ja ir divi punkti, tad starp tiem var novilkt līniju. To koordinātas ir norādītas iekavās, ja uzdevumā parādās segments. Piemēram: A(15, 13) - B(1, 4). Lai izveidotu šādu līniju, jums jāatrod un jāatzīmē punkti koordinātu plaknē un pēc tam tie jāsavieno. Tas ir viss!

Un jebkurus daudzstūrus, kā jūs zināt, var uzzīmēt, izmantojot segmentus. Problēma atrisināta.

Aprēķini

Pieņemsim, ka ir kāds objekts, kura atrašanās vietu gar X asi raksturo divi skaitļi: tas sākas punktā ar koordinātu (-3) un beidzas pie (+2). Ja vēlamies zināt šī objekta garumu, tad no lielākā skaitļa jāatņem mazākais skaitlis. Ņemiet vērā, ka negatīvs skaitlis absorbē atņemšanas zīmi, jo "mīnus reiz mīnuss ir vienāds ar plusu". Tātad saskaitām (2+3) un iegūstam 5. Tas ir nepieciešamais rezultāts.

Cits piemērs: mums ir dots objekta beigu punkts un garums, bet ne sākuma punkts (un mums tas ir jāatrod). Lai zināmā punkta atrašanās vieta ir (6), un pētāmā objekta izmērs ir (4). Atņemot garumu no gala koordinātas, mēs iegūstam atbildi. Kopā: (6–4) = 2.

Negatīvie skaitļi

Bieži vien praksē ir nepieciešams strādāt ar negatīvām vērtībām. Šajā gadījumā mēs virzīsimies pa koordinātu asi pa kreisi. Piemēram, 3 centimetrus augsts objekts peld ūdenī. Viena trešdaļa no tā ir iegremdēta šķidrumā, divas trešdaļas atrodas gaisā. Pēc tam par asi izvēloties ūdens virsmu, izmantojot vienkāršākos aritmētiskos aprēķinus, iegūstam divus skaitļus: objekta augšējam punktam ir koordināte (+2), bet apakšējā - (-1) centimetrs.

Ir viegli redzēt, ka plaknes gadījumā mums ir četras ceturtdaļas no koordinātu līnijas. Katram no tiem ir savs numurs. Pirmajā (augšējā labajā) daļā būs punkti, kuriem ir divas pozitīvas koordinātas, otrajā - augšējā kreisajā pusē - X ass vērtības būs negatīvas, bet gar Y asi - pozitīvas. Trešais un ceturtais tiek skaitīts tālāk pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Svarīgs īpašums

Jūs zināt, ka līniju var attēlot kā bezgalīgu punktu skaitu. Mēs varam aplūkot tik rūpīgi, cik mums patīk jebkuru vērtību skaitu katrā ass virzienā, bet mēs nesastapsim tādas, kas atkārtojas. Tas šķiet naivi un saprotami, taču šis apgalvojums izriet no svarīga fakta: katrs skaitlis atbilst vienam un tikai vienam punktam uz koordinātu līnijas.

Secinājums

Atcerieties, ka visas asis, figūras un, ja iespējams, grafikas jāveido uz lineāla. Mērvienības nav izgudrojis cilvēks nejauši - ja zīmējot pieļaujat kļūdu, jūs riskējat ieraudzīt citu attēlu, kādu vajadzēja iegūt.

Esiet piesardzīgs un precīzs, veidojot grafikus un aprēķinus. Tāpat kā jebkura skolā apgūta zinātne, arī matemātika mīl precizitāti. Pielieciet nedaudz pūles, un labas atzīmes neaizņems ilgu laiku.