Nevienādības un nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem. Nevienādību sistēma - risinājums

Šajā nodarbībā mēs turpināsim apsvērt racionālās nevienādības un to sistēmas, proti: lineāro un kvadrātisko nevienādību sistēmu. Vispirms atcerēsimies, kas ir divu lineāru nevienādību sistēma ar vienu mainīgo. Tālāk mēs aplūkojam kvadrātisko nevienādību sistēmu un metodi to risināšanai, izmantojot konkrētu problēmu piemēru. Sīkāk apskatīsim tā saukto jumta metodi. Mēs analizēsim tipiskus sistēmu risinājumus un nodarbības beigās aplūkosim sistēmas ar lineārām un kvadrātiskām nevienādībām risinājumu.

2. Elektroniskais izglītības un metodiskais komplekss 10.-11.klašu sagatavošanai iestājeksāmeniem datorzinātnēs, matemātikā, krievu valodā ().

3. Izglītības centrs "Izglītības tehnoloģija" ().

4. College.ru sadaļa par matemātiku ().

1. Mordkovičs A.G. un citi.Algebra 9. klase: Uzdevumu grāmata skolēniem izglītības iestādēm/ A. G. Mordkovičs, T. N. Mišustina un citi - 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 lpp.: ill. Nr.58 (a, c); 62; 63.

Ir tikai "X" un tikai abscisu ass, tagad tiek pievienoti "Y" un darbības lauks izplešas līdz visai koordinātu plaknei. Tālāk tekstā frāze "lineārā nevienlīdzība" tiek saprasta divdimensiju nozīmē, kas kļūs skaidra dažu sekunžu laikā.

Papildus analītiskajai ģeometrijai materiāls attiecas uz vairākām matemātiskās analīzes, ekonomiskās un matemātiskās modelēšanas problēmām, tāpēc iesaku šo lekciju studēt ar visu nopietnību.

Lineārās nevienādības

Pastāv divu veidu lineārās nevienādības:

1) Stingri nevienlīdzības: .

2) Ne-stingrs nevienlīdzības: .

Kāda ir šo nevienādību ģeometriskā nozīme? Ja lineārs vienādojums definē taisni, tad lineārā nevienādība definē pusplakne.

Lai saprastu tālāk sniegto informāciju, jums jāzina līniju veidi lidmašīnā un jāprot veidot līnijas. Ja šajā daļā rodas grūtības, izlasiet palīdzību Funkciju grafiki un īpašības– rindkopa par lineāru funkciju.

Sāksim ar vienkāršākajām lineārajām nevienādībām. Jebkura zaudētāja zilais sapnis ir koordinātu plakne, kurā nav nekā:

Kā zināms, abscisu asi nosaka vienādojums - “y” vienmēr (jebkurai “x” vērtībai) ir vienāds ar nulli

Apskatīsim nevienlīdzību. Kā to saprast neformāli? "Y" vienmēr (jebkurai "x" vērtībai) ir pozitīvs. Ir skaidrs, ka šī nevienlīdzība nosaka augšējo pusplakni, jo tur atrodas visi punkti ar pozitīvām "spēlēm".

Gadījumā, ja nevienlīdzība nav stingra, uz augšējo pusplakni papildus ass ir pievienota.

Līdzīgi: nevienādību apmierina visi apakšējās pusplaknes punkti, nestingrā nevienādība atbilst apakšējai pusplaknei + ass .

Ar y asi tas pats prozaisks stāsts:

– nevienlīdzība nosaka labo pusplakni;
– nevienādība nosaka labo pusplakni, ieskaitot y asi;
– nevienlīdzība nosaka kreiso pusplakni;
– nevienādība nosaka kreiso pusplakni, ieskaitot y asi.

Otrajā solī mēs ņemam vērā nevienlīdzības, kurās trūkst viena no mainīgajiem.

Trūkst "y":

Vai arī trūkst "X":

Šo nevienlīdzību var risināt divējādi. lūdzu, apsveriet abas pieejas. Pa ceļam atcerēsimies un nostiprināsim skolas rīcību ar stundā jau apspriestajām nevienlīdzībām Funkciju darbības joma.

1. piemērs

Atrisiniet lineārās nevienādības:

Ko nozīmē atrisināt lineāro nevienādību?

Atrisināt lineāro nevienādību nozīmē atrast pusplakni, kuras punkti apmierina doto nevienādību (plus pašu līniju, ja nevienādība nav stingra). Risinājums, parasti, grafisks.

Ērtāk ir nekavējoties izpildīt zīmējumu un pēc tam visu komentēt:

a) Atrisiniet nevienlīdzību

Pirmā metode

Metode ir ļoti līdzīga stāstam ar koordinātu asīm, par kuru mēs runājām iepriekš. Ideja ir pārveidot nevienādību - atstāt vienu mainīgo kreisajā pusē bez konstantēm, šajā gadījumā mainīgo x.

noteikums: Nevienādībā termini tiek pārnesti no daļas uz daļu ar zīmes maiņu, savukārt pati nevienlīdzības zīme nemainās(piemēram, ja bija zīme “mazāks par”, tad tā paliks “mazāk”).

Mēs pārnesam "pieci" uz labo pusi ar zīmes maiņu:

noteikums POZITĪVS nemainās.

Tagad zīmējiet taisnu līniju (pārtraukta zila līnija). Taisne ir pārtraukta, jo nevienlīdzība stingri, un šai līnijai piederošie punkti noteikti netiks iekļauti risinājumā.

Kāda ir nevienlīdzības nozīme? "X" vienmēr (jebkurai "y" vērtībai) ir mazāks par . Acīmredzot šo apgalvojumu apmierina visi kreisās pusplaknes punkti. Šo pusplakni principā var noēnot, bet es aprobežošos ar mazām zilām bultiņām, lai nepārvērstos zīmējumā mākslinieciskā paletē.

Otrā metode

Tas ir universāls veids. LASĪT ĻOTI UZMANĪGI!

Vispirms novelciet taisnu līniju. Skaidrības labad, starp citu, vienādojumu ieteicams attēlot formā .

Tagad izvēlieties jebkuru plaknes punktu, kas nepieder pie taisnas līnijas. Vairumā gadījumu, protams, garšīgākais punkts. Aizvietojiet šī punkta koordinātas nevienādībā:

Saņemts nepareiza nevienlīdzība (vienkāršā izteiksmē, tas tā nevar būt), kas nozīmē, ka punkts neapmierina nevienlīdzību .

Mūsu uzdevuma galvenais noteikums:
neapmierina tad nevienlīdzība VISI dotās pusplaknes punkti neapmierinašai nevienlīdzībai.
– Ja kāds pusplaknes punkts (kas nepieder pie līnijas) apmierina tad nevienlīdzība VISI dotās pusplaknes punkti apmierinātšai nevienlīdzībai.

Varat pārbaudīt: jebkurš punkts pa labi no līnijas neapmierinās nevienlīdzību .

Kāds ir secinājums no eksperimenta ar punktu? Nav kur iet, nevienlīdzību apmierina visi otra - kreisās pusplaknes punkti (var arī pārbaudīt).

b) Atrisiniet nevienādību

Pirmā metode

Pārveidosim nevienlīdzību:

noteikums: abas nevienādības puses var reizināt (dalīt) ar NEGATĪVS skaitlis, savukārt nevienlīdzības zīme MAINĀS uz pretējo (piemēram, ja bija zīme “lielāks par vai vienāds ar”, tad tā kļūs par “mazāku vai vienādu ar”).

Reiziniet abas nevienlīdzības puses ar:

Zīmēsim taisnu līniju (sarkanā krāsā), turklāt novelkam nepārtrauktu līniju, jo mums ir nevienlīdzība nav stingri, un līnija noteikti pieder pie risinājuma.

Analizējot iegūto nevienādību, mēs nonākam pie secinājuma, ka tās risinājums ir apakšējā pusplakne (+ pati taisne).

Piemērota pusplakne ir izsvītrota vai atzīmēta ar bultiņām.

Otrā metode

Novelkam taisnu līniju. Izvēlēsimies, piemēram, patvaļīgu plaknes punktu (kas nepieder pie taisnes), un aizstāsim tā koordinātas mūsu nevienādībā:

Saņemts pareiza nevienlīdzība, tad punkts apmierina nevienlīdzību , un kopumā VISI apakšējās pusplaknes punkti apmierina šo nevienlīdzību.

Šeit ar eksperimentālo punktu mēs “trāpījām” vajadzīgajā pusplaknē.

Problēmas risinājumu norāda sarkana taisna līnija un sarkanas bultiņas.

Man personīgi pirmais risinājums patīk vairāk, jo otrais ir formālāks.

2. piemērs

Atrisiniet lineārās nevienādības:

Šis ir “dari pats” piemērs. Mēģiniet atrisināt problēmu divos veidos (starp citu, tas ir labs veids risinājuma pārbaude). Atbildē nodarbības beigās būs tikai gala zīmējums.

Domāju, ka pēc visām piemēros veiktajām darbībām nāksies viņus apprecēt, nebūs grūti atrisināt visvienkāršāko nevienlīdzību, piemēram, utt.

Mēs pievēršamies trešā, vispārīgā gadījuma izskatīšanai, kad nevienādībā ir abi mainīgie:

Alternatīvi brīvais termins "ce" var būt nulle.

3. piemērs

Atrodiet pusplaknes, kas atbilst šādām nevienādībām:

Risinājums: tiek izmantota universālā punktu aizstāšanas metode.

a) Konstruēsim taisnes vienādojumu, kamēr līnija jāzīmē ar punktētu līniju, jo nevienādība ir strikta un pati taisne risinājumā netiks iekļauta.

Mēs izvēlamies plaknes eksperimentālo punktu, kas, piemēram, nepieder dotajai taisnei, un aizstājam tā koordinātas mūsu nevienādībā:

Saņemts nepareiza nevienlīdzība, tāpēc šīs pusplaknes punkts un VISI punkti neapmierina nevienlīdzību . Nevienlīdzības risinājums būs vēl viena pusplakne, mēs apbrīnojam zilo zibeni:

b) Atrisināsim nevienlīdzību. Vispirms novelkam taisnu līniju. Tas ir viegli izdarāms, mums ir kanoniskā tiešā proporcionalitāte. Līnija ir novilkta cieta, jo nevienlīdzība nav stingra.

Mēs izvēlamies patvaļīgu plaknes punktu, kas nepieder pie līnijas. Gribētos vēlreiz izmantot izcelsmi, bet, diemžēl, tagad tas neder. Tāpēc jums būs jāstrādā ar citu draudzeni. Izdevīgāk ir ņemt punktu ar mazām koordinātu vērtībām, piemēram, . Aizstājiet tās koordinātas mūsu nevienādībā:

Saņemts pareiza nevienlīdzība, Tātad dotās pusplaknes punkts un visi punkti apmierina nevienlīdzību . Vēlamā pusplakne ir atzīmēta ar sarkanām bultiņām. Turklāt risinājums ietver pašu līniju.

4. piemērs

Atrodiet nevienādībām atbilstošās pusplaknes:

Šis ir “dari pats” piemērs. Pilnīgs risinājums, aptuvens apdares paraugs un atbilde nodarbības beigās.

Apskatīsim apgriezto problēmu:

5. piemērs

a) Dota taisna līnija. Definējiet pusplakne, kurā atrodas punkts, savukārt pati līnija jāiekļauj risinājumā.

b) Dota taisne. Definējiet pusplakne, kurā atrodas punkts. Pati līnija nav iekļauta risinājumā.

Risinājums: šeit nav nepieciešams zīmējums, un risinājums būs analītisks. Nekas grūts:

a) Sastādiet palīgpolinomu un aprēķiniet tā vērtību punktā:
. Tādējādi vēlamā nevienlīdzība būs ar zīmi "mazāk nekā". Pēc nosacījuma līnija ir iekļauta risinājumā, tāpēc nevienlīdzība nebūs stingra:

b) Sastādiet polinomu un aprēķiniet tā vērtību punktā:
. Tādējādi vēlamā nevienlīdzība būs ar zīmi "lielāks par". Pēc nosacījuma līnija nav iekļauta risinājumā, tāpēc nevienlīdzība būs stingra: .

Atbilde:

Radošs piemērs pašmācībai:

6. piemērs

Doti punkti un līnija. No uzskaitītajiem punktiem atrodiet tos, kas kopā ar izcelsmi atrodas vienā un tajā pašā pusē dotajai līnijai.

Neliels mājiens: vispirms jāuzraksta nevienādība, kas nosaka pusplakni, kurā atrodas izcelsme. Analītisks risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Lineāro nevienādību sistēmas

Lineāro nevienlīdzību sistēma, kā jūs saprotat, ir sistēma, kas sastāv no vairākām nevienādībām. Lol, es izteicu definīciju =) Ezis ir ezis, nazis ir nazis. Bet patiesība ir tāda - tas izrādījās vienkārši un par pieņemamu cenu! Nē, ja nopietni, es nevēlos sniegt dažus piemērus vispārīgi, tāpēc nekavējoties pāriesim pie aktuāliem jautājumiem:

Ko nozīmē atrisināt lineāro nevienādību sistēmu?

Atrisiniet lineāro nevienādību sistēmu- tas nozīmē atrast punktu kopu plaknē kas apmierina katram sistēmas nevienlīdzība.

Kā vienkāršākos piemērus apsveriet nevienādību sistēmas, kas nosaka taisnstūra koordinātu sistēmas koordinātu ceturtdaļas ("divnieku zīmējums" ir pašā nodarbības sākumā):

Nevienādību sistēma nosaka pirmo koordinātu ceturksni (augšējā labajā pusē). Piemēram, jebkura pirmā ceturkšņa punkta koordinātas utt. apmierināt katramšīs sistēmas nevienlīdzība.

Līdzīgi:
– nevienādību sistēma definē otro koordinātu ceturksni (augšējā pa kreisi);
– nevienādību sistēma definē trešo koordinātu ceturksni (apakšējā kreisajā pusē);
– nevienādību sistēma definē ceturto koordinātu ceturksni (apakšējā labajā pusē).

Lineāro nevienādību sistēmai var nebūt risinājumu, tas ir, būt nesaderīgi. Atkal vienkāršākais piemērs: . Ir pilnīgi skaidrs, ka "x" nevar būt vairāk par trīs un mazāks par diviem vienlaikus.

Nevienādību sistēmas risinājums var būt taisna līnija, piemēram: . Gulbis, vēži, bez līdakas, velkot ratus divos dažādos virzienos. Jā, lietas joprojām pastāv – šīs sistēmas risinājums ir taisna līnija.

Bet visizplatītākais gadījums, kad sistēmas risinājums ir kāds plaknes laukums. Lēmuma apgabals var būt neierobežots(piemēram, koordinātu ceturtdaļas) vai ierobežots. Risinājumu ierobežoto domēnu sauc daudzstūru risinājumu sistēma.

7. piemērs

Atrisiniet lineāro nevienādību sistēmu

Praksē vairumā gadījumu jums ir jācīnās ar nevienlīdzību, kas nav strikta, tāpēc viņi dejos visu atlikušo stundu.

Risinājums: tas, ka ir pārāk daudz nevienlīdzības, nedrīkst būt biedējošs. Cik daudz nevienlīdzību var būt sistēmā? Jā, cik vien vēlaties. Galvenais ir ievērot racionālu algoritmu risinājuma apgabala konstruēšanai:

1) Pirmkārt, mēs risinām vienkāršākās nevienlīdzības. Nevienādības nosaka pirmo koordinātu ceturksni, ieskaitot koordinātu asu robežu. Jau daudz vieglāk, jo meklēšanas apgabals ir ievērojami sašaurināts. Zīmējumā mēs nekavējoties atzīmējam atbilstošās pusplaknes ar bultiņām (sarkanās un zilās bultiņas)

2) Otra vienkāršākā nevienlīdzība - šeit nav “y”. Pirmkārt, mēs veidojam pašu līniju, un, otrkārt, pēc nevienlīdzības pārveidošanas formā , uzreiz kļūst skaidrs, ka visi “x” ir mazāki par 6. Attiecīgo pusplakni atzīmējam ar zaļām bultiņām. Nu, meklēšanas laukums ir kļuvis vēl mazāks - tāds taisnstūris, kas nav ierobežots no augšas.

3) Pēdējā solī mēs atrisinām “ar pilnu munīciju” nevienādības: . Iepriekšējā sadaļā mēs detalizēti apspriedām risinājuma algoritmu. Īsāk sakot: vispirms izveidojam taisni, tad ar eksperimentālā punkta palīdzību atrodam vajadzīgo pusplakni.

Piecelieties, bērni, stāviet aplī:


Sistēmas risinājuma laukums ir daudzstūris, zīmējumā tas ir apvilkts ar tumšsarkanu līniju un ieēnots. Es nedaudz pārspīlēju =) Piezīmju grāmatiņā pietiek vai nu noēnot risinājumu laukumu, vai arī drosmīgāk iezīmēt to ar vienkāršu zīmuli.

Jebkurš šī daudzstūra punkts apmierina KATRU sistēmas nevienlīdzību (intereses dēļ varat pārbaudīt).

Atbilde: sistēmas risinājums ir daudzstūris.

Veidojot tīru kopiju, būtu jauki detalizēti aprakstīt, kuros punktos veidojāt taisnas līnijas (skatiet nodarbību Funkciju grafiki un īpašības), un kā tika noteiktas pusplaknes (skat. šīs nodarbības pirmo rindkopu). Tomēr praksē vairumā gadījumu jums tiks piešķirts tikai pareizais zīmējums. Pašus aprēķinus var veikt uz melnraksta vai pat mutiski.

Papildus sistēmas risinājuma daudzstūrim praksē, lai arī retāk, ir atvērta zona. Mēģiniet pats parsēt šādu piemēru. Lai gan precizitātes labad šeit nav spīdzināšanas - būvniecības algoritms ir vienāds, tikai platība izrādīsies neierobežota.

8. piemērs

Atrisiniet sistēmu

Risinājums un atbilde nodarbības beigās. Visticamāk, jums būs citi burtu apzīmējumi iegūtā laukuma virsotnēm. Tas nav svarīgi, galvenais ir pareizi atrast virsotnes un pareizi uzbūvēt laukumu.

Nereti uzdevumos tiek prasīts ne tikai konstruēt sistēmas risinājumu domēnu, bet arī atrast domēna virsotņu koordinātas. Divos iepriekšējos piemēros šo punktu koordinātas bija acīmredzamas, taču praksē viss ir tālu no ledus:

9. piemērs

Atrisiniet sistēmu un atrodiet iegūtā laukuma virsotņu koordinātas

Risinājums: mēs attēlosim šīs sistēmas risinājumu laukumu zīmējumā. Nevienādība nosaka kreiso pusplakni ar y asi, un šeit vairs nav nekādu bezmaksas dāvanu. Pēc aprēķiniem par tīru / melnrakstu vai dziļu domāšanas procesu mēs iegūstam šādu lēmumu apgabalu:

Nevienlīdzība un nevienlīdzību sistēmas ir viena no apskatītajām tēmām vidusskola algebrā. Grūtības ziņā tas nav pats grūtākais, jo tam ir vienkārši noteikumi (par tiem nedaudz vēlāk). Parasti skolēni diezgan viegli apgūst nevienlīdzību sistēmu risinājumu. Tas ir saistīts arī ar to, ka skolotāji vienkārši "apmāca" savus skolēnus par šo tēmu. Un viņi to nevar nedarīt, jo tas tiek pētīts nākotnē, izmantojot citus matemātiskos lielumus, kā arī tiek pārbaudīts OGE un vienotajā valsts eksāmenā. Skolas mācību grāmatās tēma par nevienlīdzību un nevienlīdzību sistēmām ir apskatīta ļoti detalizēti, tāpēc, ja grasāties to pētīt, vislabāk ir ķerties pie tām. Šajā rakstā ir pārstāstīti tikai lieli materiāli, un tajā var būt daži izlaidumi.

Nevienlīdzību sistēmas jēdziens

Ja mēs pievēršamies zinātniskajai valodai, mēs varam definēt jēdzienu "nevienlīdzību sistēma". Šis ir tāds matemātisks modelis, kas atspoguļo vairākas nevienlīdzības. Šim modelim, protams, ir nepieciešams risinājums, un tā būs vispārīga atbilde uz visām uzdevumā piedāvātajām sistēmas nevienādībām (parasti raksta šādi, piemēram: "Atrisiniet nevienādību sistēmu 4 x + 1 > 2 un 30 — x > 6..."). Tomēr, pirms pāriet uz risinājumu veidiem un metodēm, jums ir jāsaprot kaut kas cits.

Nevienādību sistēmas un vienādojumu sistēmas

Mācību procesā jauna tēmaļoti bieži notiek pārpratumi. No vienas puses, viss ir skaidrs un es labprātāk sāktu risināt uzdevumus, bet no otras puses, daži momenti paliek "ēnā", tie nav labi saprotami. Tāpat daži jau iegūto zināšanu elementi var tikt sapīti ar jaunām. Šī "pārklājuma" rezultātā bieži rodas kļūdas.

Tāpēc, pirms turpināt mūsu tēmas analīzi, jāatgādina atšķirības starp vienādībām un nevienādībām, to sistēmām. Lai to izdarītu, jums vēlreiz jāpaskaidro, kas ir šie matemātiskie jēdzieni. Vienādojums vienmēr ir vienādojums, un tas vienmēr ir vienāds ar kaut ko (matemātikā šo vārdu apzīmē ar zīmi "="). Nevienlīdzība ir modelis, kurā viena vērtība ir lielāka vai mazāka par citu, vai arī ietver apgalvojumu, ka tās nav vienādas. Tātad pirmajā gadījumā der runāt par vienlīdzību, bet otrajā, lai cik acīmredzami tas izklausītos pēc paša nosaukuma, par sākotnējo datu nevienlīdzību. Vienādojumu un nevienādību sistēmas praktiski neatšķiras viena no otras un to atrisināšanas metodes ir vienādas. Vienīgā atšķirība ir tā, ka pirmais izmanto vienādības, bet otrais izmanto nevienlīdzības.

Nevienlīdzību veidi

Ir divu veidu nevienādības: skaitliskā un ar nezināmu mainīgo. Pirmais veids ir norādītas vērtības (skaitļi), kas nav vienādas viena ar otru, piemēram, 8 > 10. Otrais veids ir nevienādības, kas satur nezināmu mainīgo (norāda kāds latīņu alfabēta burts, visbiežāk X). Šis mainīgais ir jāatrod. Atkarībā no tā, cik daudz ir, matemātiskais modelis izšķir nevienādības ar vienu (tie veido nevienādību sistēmu ar vienu mainīgo) vai vairākus mainīgos (tie veido nevienādību sistēmu ar vairākiem mainīgajiem).

Pēdējie divi veidi atbilstoši to uzbūves pakāpei un risinājuma sarežģītības pakāpei tiek iedalīti vienkāršajos un sarežģītos. Vienkāršās tiek sauktas arī par lineārām nevienādībām. Tos savukārt iedala stingrajos un nestingrajos. Stingri konkrēti "sakiet", ka vienai vērtībai jābūt vai nu mazākai, vai lielākai, tāpēc tā ir tīrā nevienlīdzība. Ir vairāki piemēri: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 utt. Nestingri ietver arī vienlīdzību. Tas nozīmē, ka viena vērtība var būt lielāka vai vienāda ar citu vērtību (zīme "≥") vai mazāka vai vienāda ar citu vērtību (zīme "≤"). Pat lineārās nevienādībās mainīgais nestāv saknē, kvadrātā, nedalās ar neko, tāpēc tos sauc par "vienkāršiem". Sarežģītajos ietilpst nezināmi mainīgie, kuru atrašanai nepieciešamas vairāk matemātiskas darbības. Tie bieži atrodas kvadrātā, kubā vai zem saknes, tie var būt modulāri, logaritmiski, daļskaitlīši utt. Bet tā kā mūsu uzdevums ir izprast nevienādību sistēmu risinājumu, tad runāsim par lineāro nevienādību sistēmu. Tomēr pirms tam daži vārdi jāpasaka par to īpašībām.

Nevienādību īpašības

Nevienādību īpašības ietver šādus nosacījumus:

1. Nevienlīdzības zīme tiek apgriezta, ja tiek piemērota malu secības maiņas operācija (piemēram, ja t 1 ≤ t 2, tad t 2 ≥ t 1).
2. Abas nevienādības daļas ļauj sev pievienot vienu un to pašu skaitli (piemēram, ja t 1 ≤ t 2, tad t 1 + skaitlis ≤ t 2 + skaitlis).
3. Divas vai vairākas nevienādības, kurām ir viena virziena zīme, ļauj pievienot to kreiso un labo daļu (piemēram, ja t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, tad t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. Abas nevienādības daļas ļauj sevi reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu pozitīvo skaitli (piemēram, ja t 1 ≤ t 2 un skaitlis ≤ 0, tad skaitlis t 1 ≥ skaitlis t 2).
5. Divas vai vairākas nevienādības, kurām ir pozitīvi vārdi un viena virziena zīme, ļauj sevi reizināt savā starpā (piemēram, ja t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1 , t 2, t 3, t 4 ≥ 0, tad t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. Abas nevienādības daļas ļauj sevi reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu negatīvo skaitli, bet nevienlīdzības zīme mainās (piemēram, ja t 1 ≤ t 2 un skaitlis ≤ 0, tad skaitlis t 1 ≥ skaitlis t 2).
7. Visām nevienādībām piemīt tranzitivitātes īpašība (piemēram, ja t 1 ≤ t 2 un t 2 ≤ t 3, tad t 1 ≤ t 3).

Tagad, izpētot galvenos teorijas noteikumus, kas saistīti ar nevienlīdzību, mēs varam tieši pāriet uz to sistēmu risināšanas noteikumu apsvēršanu.

Nevienādību sistēmu risinājums. Galvenā informācija. Risinājumi

Kā minēts iepriekš, risinājums ir mainīgā lieluma vērtības, kas atbilst visām dotās sistēmas nevienādībām. Nevienādību sistēmu risinājums ir matemātisku darbību īstenošana, kas galu galā noved pie visas sistēmas atrisinājuma vai pierāda, ka tai nav risinājumu. Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka mainīgais attiecas uz tukšu ciparu kopu (rakstīts šādi: burts, kas apzīmē mainīgo∈ (zīme "pieder") ø (zīme "tukša kopa"), piemēram, x ∈ ø (tas skan: "Mainīgais "x" pieder tukšajai kopai"). Ir vairāki veidi, kā atrisināt nevienādību sistēmas: grafiskā, algebriskā, aizvietošanas metode. Ir vērts atzīmēt, ka tie attiecas uz tiem matemātiskajiem modeļiem, kuriem ir vairāki nezināmi mainīgie. Gadījumā, ja ir tikai viens, ir piemērota intervāla metode.

Grafiskais veids

Ļauj atrisināt nevienādību sistēmu ar vairākiem nezināmajiem (no diviem vai vairāk). Pateicoties šai metodei, lineāro nevienādību sistēma tiek atrisināta diezgan vienkārši un ātri, tāpēc tā ir visizplatītākā metode. Tas ir tāpēc, ka diagramma samazina matemātisko darbību rakstīšanas skaitu. Īpaši patīkami kļūst paņemt nelielu pauzi no pildspalvas, paņemt zīmuli ar lineālu un ar viņu palīdzību ķerties pie tālākām darbībām, kad ir paveikts liels darbs un gribas nedaudz dažādības. Tomēr dažiem šī metode nepatīk, jo jums ir jāatsakās no uzdevuma un jāpārslēdz sava garīgā darbība uz zīmēšanu. Tomēr tas ir ļoti efektīvs veids.

Lai atrisinātu nevienādību sistēmu ar grafisko metodi, ir nepieciešams pārnest visus katras nevienādības locekļus uz to kreiso pusi. Zīmes tiks apgrieztas, labajā pusē jāraksta nulle, tad katra nevienlīdzība jāraksta atsevišķi. Rezultātā funkcijas tiks iegūtas no nevienādībām. Pēc tam jūs varat iegūt zīmuli un lineālu: tagad jums ir jāuzzīmē katras iegūtās funkcijas grafiks. Visa skaitļu kopa, kas atradīsies to krustošanās intervālā, būs nevienādību sistēmas risinājums.

Algebriskais ceļš

Ļauj atrisināt nevienādību sistēmu ar diviem nezināmiem mainīgajiem. Tāpat nevienādībām jābūt ar vienu un to pašu nevienlīdzības zīmi (t.i., tajās jāsatur vai nu tikai zīme "lielāks par", vai tikai zīme "mazāks par" utt.) Neskatoties uz ierobežojumiem, šī metode ir arī sarežģītāka. To piemēro divos posmos.

Pirmais ietver darbības, lai atbrīvotos no viena no nezināmajiem mainīgajiem. Vispirms tas ir jāatlasa, pēc tam pārbaudiet, vai šī mainīgā priekšā nav skaitļu. Ja tādu nav (tad mainīgais izskatīsies kā viens burts), tad neko nemainām, ja ir (mainīgā tips būs, piemēram, 5y vai 12y), tad ir jāpārliecinās ka katrā nevienādībā skaitlis izvēlētā mainīgā priekšā ir vienāds. Lai to izdarītu, katrs nevienādības loceklis jāreizina ar kopīgu koeficientu, piemēram, ja pirmajā nevienādībā ir ierakstīts 3y, bet otrajā - 5y, tad visi pirmās nevienādības locekļi jāreizina ar 5. , bet otrais ar 3. Tas izrādīsies attiecīgi 15 g. un 15 g.

Lēmuma otrais posms. Katras nevienlīdzības kreiso pusi nepieciešams pārnest uz labajām pusēm, mainot katra vārda zīmi uz pretējo, labajā pusē ierakstiet nulli. Tad nāk jautrā daļa: atbrīvošanās no izvēlētā mainīgā (citādi saukta par "samazināšanu"), vienlaikus saskaitot nevienlīdzības. Jūs iegūsit nevienādību ar vienu mainīgo, kas ir jāatrisina. Pēc tam jums vajadzētu darīt to pašu, tikai ar citu nezināmu mainīgo. Iegūtie rezultāti būs sistēmas risinājums.

Aizvietošanas metode

Ļauj atrisināt nevienlīdzību sistēmu, kad ir iespējams ieviest jaunu mainīgo. Parasti šo metodi izmanto, ja nezināmais mainīgais vienā nevienādības loceklī tiek paaugstināts līdz ceturtajai pakāpei, bet otrā – kvadrātā. Tādējādi šīs metodes mērķis ir samazināt nevienlīdzības pakāpi sistēmā. Izlases nevienādība x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 tiek atrisināta šādi. Tiek ieviests jauns mainīgais, piemēram, t. Viņi raksta: "Ļaujiet t = x 2", tad modelis tiek pārrakstīts jaunā formā. Mūsu gadījumā mēs iegūstam t 2 - t - 1 ≤0. Šī nevienlīdzība ir jāatrisina ar intervāla metodi (par to nedaudz vēlāk), pēc tam atgriezieties pie mainīgā X, pēc tam dariet to pašu ar citu nevienādību. Saņemtās atbildes būs sistēmas lēmums.

Atstarpes metode

Tas ir vienkāršākais veids, kā atrisināt nevienlīdzību sistēmas, un tajā pašā laikā tas ir universāls un plaši izplatīts. To izmanto vidusskolā un pat vidusskolā. Tās būtība slēpjas apstāklī, ka skolēns meklē nevienlīdzības intervālus uz skaitļu līnijas, kas ir uzzīmēta piezīmju grāmatiņā (tas nav grafiks, bet tikai parasta taisne ar skaitļiem). Tur, kur nevienādību intervāli krustojas, tiek atrasts sistēmas risinājums. Lai izmantotu atstarpes metodi, jums jāveic šādas darbības:

1. Visi katras nevienādības locekļi tiek pārnesti uz kreiso pusi ar zīmes maiņu uz pretējo (labajā pusē rakstīta nulle).
2. Nevienādības tiek izrakstītas atsevišķi, katrai tiek noteikts risinājums.
3. Tiek atrasti reālās taisnes nevienādību krustpunkti. Visi skaitļi šajos krustojumos būs risinājums.

Kādu veidu izmantot?

Acīmredzot tas, kas šķiet visvieglākais un ērtākais, taču ir gadījumi, kad uzdevumiem ir nepieciešama noteikta metode. Visbiežāk viņi saka, ka jums ir jāatrisina, izmantojot grafiku vai intervāla metodi. Algebriskā metode un aizstāšana tiek izmantota ārkārtīgi reti vai netiek izmantota vispār, jo tās ir diezgan sarežģītas un mulsinošas, turklāt tās vairāk izmanto vienādojumu sistēmu, nevis nevienādību risināšanai, tāpēc jums vajadzētu ķerties pie grafiku un intervālu zīmēšanas. Tie nodrošina redzamību, kas tikai veicina efektīvu un ātru matemātisko darbību veikšanu.

Ja kaut kas nedarbojas

Pētot konkrētu tēmu algebrā, protams, var rasties problēmas ar tās izpratni. Un tas ir normāli, jo mūsu smadzenes ir veidotas tā, ka tās nespēj saprast sarežģītu materiālu vienā piegājienā. Bieži vien jums ir jāpārlasa rindkopa, jāizmanto skolotāja palīdzība vai jāvingrinās tipisku problēmu risināšanā. Mūsu gadījumā tie izskatās, piemēram, šādi: "Atrisiniet nevienādību sistēmu 3 x + 1 ≥ 0 un 2 x - 1 > 3". Tādējādi personīgā tiekšanās, trešo personu palīdzība un prakse palīdz izprast jebkuru sarežģītu tēmu.

Rešebņiks?

Un arī risinājumu grāmata ir ļoti piemērota, bet ne mājasdarbu krāpšanai, bet pašpalīdzībai. Tajos var atrast nevienādību sistēmas ar risinājumu, aplūkot tās (kā modeļus), mēģināt precīzi saprast, kā risinājuma autors tika galā ar uzdevumu, un tad mēģināt to izdarīt pats.

secinājumus

Algebra ir viens no grūtākajiem mācību priekšmetiem skolā. Nu ko tu vari darīt? Matemātika vienmēr ir bijusi tāda: vieniem tas nāk viegli, bet citiem grūti. Bet jebkurā gadījumā jāatceras, ka vispārējās izglītības programma ir veidota tā, lai ikviens skolēns ar to tiktu galā. Turklāt jums jāpatur prātā milzīgs palīgu skaits. Daži no tiem ir minēti iepriekš.

Šajā rakstā ir apkopota sākotnējā informācija par nevienlīdzības sistēmām. Šeit mēs sniedzam nevienlīdzību sistēmas definīciju un nevienlīdzību sistēmas risinājuma definīciju. Tajā arī uzskaitīti galvenie sistēmu veidi, ar kuriem visbiežāk nākas strādāt algebras stundās skolā, un sniegti piemēri.

Lapas navigācija.

Kas ir nevienlīdzību sistēma?

Ir ērti definēt nevienādību sistēmas tādā pašā veidā, kā mēs ieviesām vienādojumu sistēmas definīciju, tas ir, atbilstoši ieraksta veidam un tajā ietvertajai nozīmei.

Definīcija.

Nevienlīdzību sistēma ir ieraksts, kas attēlo noteiktu skaitu nevienādību, kas uzrakstītas viena zem otras, apvienotas kreisajā pusē ar krokainu iekava, un apzīmē visu risinājumu kopu, kas vienlaikus ir katras sistēmas nevienādības risinājumi.

Sniegsim piemēru nevienlīdzību sistēmai. Ņemiet divus patvaļīgus, piemēram, 2 x−3>0 un 5−x≥4 x−11, ierakstiet tos vienu zem otra
2x−3>0,
5-x≥4 x-11
un apvienoties ar sistēmas zīmi - cirtainu kronšteinu, kā rezultātā mēs iegūstam šādas formas nevienādību sistēmu:

Līdzīgi tiek sniegts priekšstats par nevienlīdzības sistēmām skolu mācību grāmatās. Ir vērts atzīmēt, ka definīcijas tajās ir sniegtas šaurāk: nevienādībām ar vienu mainīgo vai ar diviem mainīgajiem.

Galvenie nevienlīdzību sistēmu veidi

Ir skaidrs, ka pastāv bezgala daudz dažādu nevienlīdzību sistēmu. Lai nepazustu šajā daudzveidībā, ieteicams tos aplūkot grupās, kurām ir savas atšķirīgās iezīmes. Visas nevienlīdzību sistēmas var iedalīt grupās pēc šādiem kritērijiem:

• pēc nevienlīdzību skaita sistēmā;
• pēc ierakstā iesaistīto mainīgo lielumu skaita;
• pēc nevienlīdzības rakstura.

Atbilstoši ierakstā iekļauto nevienādību skaitam izšķir divu, trīs, četru u.c. sistēmas. nevienlīdzības. Iepriekšējā rindkopā mēs sniedzām sistēmas piemēru, kas ir divu nevienlīdzību sistēma. Parādīsim vēl vienu četru nevienādību sistēmas piemēru .

Atsevišķi mēs sakām, ka nav jēgas runāt par vienas nevienlīdzības sistēmu, šajā gadījumā patiesībā mēs runājam par pašu nevienlīdzību, nevis par sistēmu.

Ja paskatās uz mainīgo skaitu, tad ir nevienādību sistēmas ar vienu, diviem, trīs utt. mainīgie (vai, kā saka, nezināmie). Apskatiet pēdējo nevienlīdzību sistēmu, kas uzrakstīta divas rindkopas augstāk. Šī ir sistēma ar trīs mainīgajiem x , y un z . Ņemiet vērā, ka viņas pirmās divas nevienādības nesatur visus trīs mainīgos, bet tikai vienu no tiem. Šīs sistēmas kontekstā tās jāsaprot kā nevienādības ar trīs mainīgajiem attiecīgi formā x+0 y+0 z≥−2 un 0 x+y+0 z≤5. Ņemiet vērā, ka skola koncentrējas uz nevienlīdzību ar vienu mainīgo.

Atliek apspriest, kāda veida nevienlīdzība ir saistīta ar rakstīšanas sistēmām. Skolā viņi galvenokārt uzskata divu nevienādību sistēmas (retāk - trīs, vēl retāk - četras vai vairāk) ar vienu vai diviem mainīgajiem, un pašas nevienlīdzības parasti ir veselu skaitļu nevienādības pirmā vai otrā pakāpe (retāk - augstākas pakāpes vai daļēji racionāla). Bet nebrīnieties, ja OGE sagatavošanas materiālos jūs saskaraties ar nevienādību sistēmām, kas satur iracionālas, logaritmiskas, eksponenciālas un citas nevienādības. Kā piemēru mēs piedāvājam nevienlīdzību sistēmu , tas ir ņemts no .

Kāds ir nevienlīdzību sistēmas risinājums?

Mēs ieviešam vēl vienu definīciju, kas saistīta ar nevienlīdzību sistēmām - nevienlīdzību sistēmas risinājuma definīciju:

Definīcija.

Nevienādību sistēmas atrisināšana ar vienu mainīgo tiek saukta tāda mainīgā vērtība, kas katru no sistēmas nevienādībām pārvērš patiesā, citiem vārdiem sakot, ir katras sistēmas nevienādības risinājums.

Paskaidrosim ar piemēru. Ņemsim divu nevienādību sistēmu ar vienu mainīgo . Ņemsim mainīgā x vērtību, kas vienāda ar 8 , tas ir mūsu nevienādību sistēmas risinājums pēc definīcijas, jo tā aizstāšana ar sistēmas nevienādībām dod divas pareizas skaitliskās nevienādības 8>7 un 2−3 8≤0 . Gluži pretēji, vienība nav sistēmas risinājums, jo, to aizstājot ar mainīgo x, pirmā nevienādība pārvērtīsies par nepareizu skaitlisko nevienādību 1>7 .

Līdzīgi mēs varam ieviest risinājuma definīciju nevienādību sistēmai ar diviem, trim vai vairākiem mainīgajiem:

Definīcija.

Nevienādību sistēmas atrisināšana ar divi, trīs utt. mainīgie sauc par pāri, trīskāršiem utt. šo mainīgo lielumu vērtības, kas vienlaikus ir risinājums katrai sistēmas nevienādībai, tas ir, katru sistēmas nevienādību pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā.

Piemēram, vērtību pāris x=1 , y=2 vai citā apzīmējumā (1, 2) ir risinājums nevienādību sistēmai ar diviem mainīgajiem, jo ​​1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Nevienādību sistēmām var nebūt atrisinājumu, tām var būt ierobežots atrisinājumu skaits vai arī bezgalīgi daudz risinājumu. Bieži tiek runāts par risinājumu kopumu nevienlīdzību sistēmai. Ja sistēmai nav risinājumu, tad ir tukša tās risinājumu kopa. Ja ir galīgs atrisinājumu skaits, tad atrisinājumu kopa satur ierobežotu skaitu elementu, un, ja atrisinājumu ir bezgalīgi daudz, tad risinājumu kopa sastāv no bezgalīgi daudz elementu.

Daži avoti ievieš konkrēta un vispārīga nevienlīdzības sistēmas risinājuma definīcijas, kā, piemēram, Mordkoviča mācību grāmatās. Zem īpašs risinājums nevienlīdzību sistēmai saprast tā vienu vienīgo risinājumu. Savukārt nevienādību sistēmas vispārējs risinājums- tie visi ir viņas privātie lēmumi. Tomēr šiem terminiem ir jēga tikai tad, ja nepieciešams uzsvērt, kurš risinājums tiek apspriests, bet parasti tas jau ir skaidrs no konteksta, tāpēc daudz biežāk ir vienkārši teikt "nevienlīdzību sistēmas risinājums".

No šajā rakstā ieviestajām nevienādību sistēmas un tās risinājumu definīcijām izriet, ka nevienlīdzību sistēmas risinājums ir šīs sistēmas visu nevienādību risinājumu kopu krustpunkts.

Bibliogrāfija.

1. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: 9. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2009. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovičs A.G. Algebra. 9. klase Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovičs A.G. Algebra un matemātiskās analīzes sākums. 11. klase. Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem (profila līmenis) / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 2. izdevums, dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. IZMANTOT-2013. Matemātika: tipiskās eksāmenu iespējas: 30 varianti / red. A. L. Semenova, I. V. Jaščenko. - M .: Izdevniecība "Nacionālā izglītība", 2012. - 192 lpp. - (USE-2013. FIPI - skola).

Nevienlīdzību risināšana tiešsaistē

Pirms nevienādību risināšanas ir labi jāsaprot, kā tiek atrisināti vienādojumi.

Nav nozīmes tam, vai nevienlīdzība ir stingra () vai nestingra (≤, ≥), vispirms ir jāatrisina vienādojums, aizvietojot nevienlīdzības zīmi ar vienādību (=).

Paskaidrojiet, ko nozīmē atrisināt nevienlīdzību?

Pēc vienādojumu izpētes skolēnam galvā ir šāds attēls: jāatrod tādas mainīgā vērtības, kurām abām vienādojuma daļām ir vienādas vērtības. Citiem vārdiem sakot, atrodiet visus punktus, kuros ir spēkā vienlīdzība. Viss ir pareizi!

Runājot par nevienlīdzībām, ar to saprot intervālu (segmentu) atrašanu, uz kuriem nevienlīdzība attiecas. Ja nevienādībā ir divi mainīgie, tad risinājums vairs nebūs intervāli, bet daži apgabali plaknē. Uzminiet, kāds būs nevienādības risinājums trīs mainīgajos?

Kā atrisināt nevienlīdzības?

Intervālu metode (pazīstama arī kā intervālu metode) tiek uzskatīta par universālu nevienādību risināšanas veidu, kas sastāv no visu intervālu noteikšanas, kuros dotā nevienādība tiks izpildīta.

Neiedziļinoties nevienlīdzības veidā, šajā gadījumā tā nav būtība, ir jāatrisina attiecīgais vienādojums un jānosaka tā saknes, kam seko šo atrisinājumu apzīmējums uz skaitliskās ass.

Kā pareizi uzrakstīt nevienlīdzības risinājumu?

Kad esat noteicis nevienlīdzības risināšanas intervālus, jums pareizi jāizraksta pats risinājums. Ir svarīga nianse – vai risinājumā ir iekļautas intervālu robežas?

Šeit viss ir vienkārši. Ja vienādojuma atrisinājums apmierina ODZ un nevienādība nav stingra, tad nevienādības risinājumā tiek iekļauta intervāla robeža. Citādi nē.

Ņemot vērā katru intervālu, nevienādības risinājums var būt pats intervāls vai pusintervāls (kad viena no tā robežām apmierina nevienlīdzību), vai segments - intervāls kopā ar tā robežām.

Svarīgs punkts

Nedomājiet, ka tikai intervāli, pusintervāli un segmenti var būt nevienlīdzības risinājums. Nē, risinājumā var iekļaut arī atsevišķus punktus.

Piemēram, nevienādībai |x|≤0 ir tikai viens risinājums - punkts 0.

Un nevienlīdzība |x|

Kam domāts nevienlīdzības kalkulators?

Nevienlīdzības kalkulators sniedz pareizo galīgo atbildi. Šajā gadījumā vairumā gadījumu tiek sniegta skaitliskās ass vai plaknes ilustrācija. Var redzēt, vai intervālu robežas ir iekļautas risinājumā vai nav - punkti tiek parādīti aizpildīti vai caurdurti.

Pateicoties tiešsaistes nevienlīdzības kalkulatoram, varat pārbaudīt, vai esat pareizi atradis vienādojuma saknes, atzīmējis tās skaitļu rindā un pārbaudījis nevienlīdzības nosacījumus intervālos (un robežās)?

Ja jūsu atbilde atšķiras no kalkulatora atbildes, jums noteikti ir vēlreiz jāpārbauda risinājums un jānoskaidro pieļautā kļūda.