Tātad vienības segments un tā desmitā, simtā un tā tālāk daļas ļauj mums nokļūt līdz koordinātu līnijas punktiem, kas atbildīs pēdējām decimāldaļdaļām (kā iepriekšējā piemērā). Taču uz koordinātu līnijas ir punkti, kurus nevaram trāpīt, bet kuriem varam patvaļīgi pietuvoties, izmantojot arvien mazākus līdz bezgalīgi mazai vienības segmenta daļai. Šie punkti atbilst bezgalīgām periodiskām un neperiodiskām decimāldaļdaļām. Sniegsim dažus piemērus. Viens no šiem punktiem koordinātu taisnē atbilst skaitlim 3.711711711…=3,(711) . Lai tuvotos šim punktam, jums ir jāatliek 3 vienības segmenti, 7 no tās desmitdaļas, 1 simtā daļa, 1 tūkstošdaļa, 7 desmittūkstošdaļas, 1 simts tūkstošdaļas, 1 miljonā vienības segmenta utt. Un vēl viens koordinātu līnijas punkts atbilst pi (π=3,141592...).

Tā kā reālo skaitļu kopas elementi ir visi skaitļi, kurus var uzrakstīt galīgu un bezgalīgu decimāldaļskaitļu veidā, tad visa iepriekš sniegtā informācija šajā punktā ļauj mums apgalvot, ka mēs esam piešķīruši noteiktu reālo skaitli katram punktam. koordinātu līniju, kamēr ir skaidrs, ka dažādi punkti atbilst dažādiem reāliem skaitļiem.

Ir arī pilnīgi skaidrs, ka šī sarakste ir viena pret vienu. Tas ir, mēs varam saistīt noteiktu punktu koordinātu taisnē ar reālu skaitli, bet mēs varam arī izmantot doto reālo skaitli, lai norādītu konkrētu punktu koordinātu taisnē, kuram atbilst šis reālais skaitlis. Lai to izdarītu, mums būs jāatliek noteikts skaits vienības segmentu, kā arī viena segmenta desmitdaļas, simtdaļas un tā tālāk no sākuma pareizajā virzienā. Piemēram, skaitlis 703.405 atbilst punktam uz koordinātu līnijas, kuru var sasniegt no sākuma, atliekot 703 vienības segmentus pozitīvā virzienā, 4 segmentus, kas veido desmito daļu no vienības, un 5 segmentus, kas veido tūkstošdaļa vienības.

Tātad katrs koordinātu līnijas punkts atbilst reālam skaitlim, un katram reālajam skaitlim ir sava vieta koordinātu līnijas punkta veidā. Tāpēc bieži tiek saukta koordinātu līnija skaitļa līnija.

Punktu koordinātas uz koordinātu līnijas

Tiek izsaukts skaitlis, kas atbilst punktam uz koordinātu līnijas šī punkta koordinātas.

Iepriekšējā rindkopā mēs teicām, ka katrs reālais skaitlis atbilst vienam punktam uz koordinātu līnijas, tāpēc punkta koordināte unikāli nosaka šī punkta atrašanās vietu koordinātu taisnē. Citiem vārdiem sakot, punkta koordināte unikāli definē šo punktu uz koordinātu līnijas. No otras puses, katrs punkts koordinātu taisnē atbilst vienam reālam skaitlim - šī punkta koordinātei.

Atliek teikt tikai par pieņemto apzīmējumu. Punkta koordinātu raksta iekavās pa labi no burta, kas apzīmē punktu. Piemēram, ja punkta M koordināte ir -6, tad var rakstīt M(-6) , un formas apzīmējums nozīmē, ka koordinātu līnijas punktam M ir koordināte.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika: mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
• Viļenkins N.Ya. utt. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar koordinātu līnijas jēdzienu, atvasināsim tās galvenās īpašības un īpašības. Formulēsim un mācīsimies atrisināt galvenos uzdevumus. Atrisināsim dažus piemērus par šo problēmu kombināciju.

No ģeometrijas kursa mēs zinām, kas ir taisne, bet kas jādara ar parastu taisni, lai tā kļūtu par koordinātu?

1) Izvēlieties sākuma punktu;

2) Izvēlieties virzienu;

3) Izvēlieties mērogu;

1. attēlā parādīta parasta taisne, bet 2. attēlā - koordinātu līnija.

Koordinātu līnija ir tāda taisne l, uz kuras ir izvēlēts sākuma punkts O - izcelsme, skala ir vienības segments, tas ir, tāds posms, kura garums tiek uzskatīts par vienādu ar vienu, un a pozitīvs virziens.

Koordinātu līniju sauc arī par koordinātu asi vai X asi.

Noskaidrosim, kāpēc mums ir nepieciešama koordinātu līnija, šim nolūkam mēs definējam tās galveno īpašību. Koordinātu līnija nosaka vienlīdzīgu atbilstību starp visu skaitļu kopu un visu punktu kopu šajā taisnē. Šeit ir daži piemēri:

Tiek doti divi skaitļi: (“+” zīme, modulis ir trīs) un (zīme “-”, modulis ir trīs). Uzzīmēsim šos skaitļus uz koordinātu līnijas:

Šeit skaitli sauc par A koordinātu, skaitli sauc par B koordinātu.

Viņi arī saka, ka skaitļa attēls ir punkts C ar koordinātu, un skaitļa attēls ir punkts D ar koordinātu:

Tātad, tā kā koordinātu līnijas galvenā īpašība ir viena pret vienu atbilstības izveidošana starp punktiem un skaitļiem, rodas divi galvenie uzdevumi: norādīt punktu ar noteiktu skaitli, mēs to jau esam izdarījuši iepriekš, un norādīt skaitlis pēc noteikta punkta. Apsveriet otrā uzdevuma piemēru:

Dot punktu M:

Lai noteiktu skaitli no noteiktā punkta, vispirms ir jānosaka attālums no atskaites punktiem līdz punktam. Šajā gadījumā attālums ir divi. Tagad jums ir jānosaka skaitļa zīme, tas ir, kurā taisnes starā atrodas punkts M. Šajā gadījumā punkts atrodas pa labi no atskaites punkta, pozitīvajā starā, kas nozīmē skaitli. būs “+” zīme.

Paņemsim vēl vienu punktu un no tā noteiksim skaitli:

Attālums no atskaites punkta līdz punktam, līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, ir vienāds ar divi, taču šajā gadījumā punkts atrodas pa kreisi no atskaites punkta uz negatīvā stara, kas nozīmē, ka punkts N raksturo skaitli

Visas tipiskās problēmas, kas saistītas ar koordinātu līniju, ir kaut kādā veidā saistītas ar tās galveno īpašību un divām galvenajām problēmām, kuras esam formulējuši un atrisinājuši.

Tipiski uzdevumi ietver:

-jāprot izvietot punktus un to koordinātes;

-saprast skaitļu salīdzinājumu:

izteiksme nozīmē, ka punkts C ar koordinātu 4 atrodas pa labi no punkta M ar koordinātu 2:

Un otrādi, ja mums tiek dota punktu atrašanās vieta uz koordinātu līnijas, mums jāsaprot, ka to koordinātas ir saistītas ar noteiktu attiecību:

Doti punkti M(x M) un N(x N):

Mēs redzam, ka punkts M atrodas pa labi no punkta n, kas nozīmē, ka to koordinātas ir saistītas kā

-Attāluma noteikšana starp punktiem.

Mēs zinām, ka attālums starp punktiem X un A ir vienāds ar skaitļa moduli. Doti divi punkti:

Tad attālums starp tiem būs:

Vēl viens ļoti svarīgs uzdevums ir skaitlisko kopu ģeometriskais apraksts.

Apsveriet staru, kas atrodas uz koordinātu ass, neietver tā izcelsmi, bet ietver visus pārējos punktus:

Tātad mums ir punktu kopa, kas atrodas uz koordinātu ass. Aprakstīsim skaitļu kopu, kuru raksturo dotā punktu kopa. Šādu skaitļu un punktu ir bezgalīgi daudz, tāpēc šis ieraksts izskatās šādi:

Izdarīsim paskaidrojumu: otrajā apzīmējuma variantā, ja viņi ieliek apaļo iekava "(" nozīmē galējo skaitli - šajā gadījumā skaitlis 3, komplektā neietilpst, bet, ja ievietojat kvadrātiekava " [", tad galējais skaitlis ir iekļauts komplektā.

Tātad, mēs esam analītiski uzrakstījuši skaitlisko kopu, kas raksturo noteiktu punktu kopu. analītiskais apzīmējums, kā jau teicām, tiek veikts vai nu nevienādības, vai intervāla veidā.

Tiek dots punktu kopums:

Šajā gadījumā komplektā ir iekļauts punkts a=3. Analītiski aprakstīsim skaitļu kopu:

Ņemiet vērā, ka aiz vai pirms bezgalības zīmes vienmēr tiek liktas iekavas, jo mēs nekad nesasniegsim bezgalību, un skaitlis var būt vai nu apaļiekava, vai kvadrātiekava atkarībā no uzdevuma nosacījumiem.

Apsveriet apgrieztas problēmas piemēru.

Dota koordinātu līnija. Uzzīmējiet uz tā punktu kopu, kas atbilst skaitliskajai kopai, un:

Koordinātu līnija nosaka vienu pret vienu atbilstību starp jebkuru punktu un skaitli, un līdz ar to starp skaitliskām kopām un punktu kopām. Mēs esam apsvēruši starus, kas vērsti gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, iekļaujot to virsotni un neiekļaujot to. Tagad apskatīsim segmentus.

10. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet atbilstošo punktu kopu

11. piemērs:

Tiek dota skaitļu kopa. Uzzīmējiet punktu kopu:

Dažreiz, lai parādītu, ka segmenta gali nav iekļauti komplektā, tiek uzzīmētas bultiņas:

12. piemērs:

Dota skaitļu kopa. Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Atrodiet mazāko skaitli no intervāla:

Atrodiet lielāko skaitli no intervāla , ja tāds pastāv:

Mēs varam atņemt patvaļīgi mazu skaitli no astoņiem un teikt, ka rezultāts būs lielākais skaitlis, bet mēs uzreiz atradīsim vēl mazāku skaitli, un atņemšanas rezultāts palielināsies tā, ka nav iespējams atrast lielāko skaitli. šis intervāls.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka nav iespējams atrast tuvāko skaitli nevienam skaitlim uz koordinātu līnijas, jo vienmēr būs skaitlis, kas ir vēl tuvāks.

Cik naturālu skaitļu ir dotajā intervālā?

No intervāla mēs izvēlamies šādus naturālus skaitļus: 4, 5, 6, 7 - četri naturālie skaitļi.

Atcerieties, ka naturālie skaitļi ir skaitļi, ko izmanto skaitīšanai.

Paņemsim vēl vienu komplektu.

13. piemērs:

Dota skaitļu kopa

Izveidojiet tā ģeometrisko modeli:

Skat bezmaksas video pamācības kanālā Hedgehog Clearly.

Video pamācības kanālā Hedgehog Clearly. Abonējiet!

koordinātu līnija izsaukt taisni ar atskaites punktu (nulle), vienības segmentu un uz tā izvēlēto virzienu. Katru naturālo skaitli var saistīt ar vienu punktu koordinātu taisnē.

Lai salīdzinātu divus skaitļus, kas atrodas uz koordinātu līnijas, ir jāpievērš uzmanība tam, kā tie atrodas viens pret otru.

Ja skaitlis a atrodas pa kreisi no skaitļa b, tad a< b

Ja skaitlis a atrodas pa labi no skaitļa b, tad a > b

OGE ir vairāki uzdevumu veidi, kas saistīti ar skaitļu atrašanās vietu koordinātu līnijā. Lai sāktu risināt piemērus, atcerēsimies vēl dažus jēdzienus.

Skaitļa absolūtā vērtība

| a | = ( a , a > 0 0 , a = 0 − a , a< 0

Modulis no cipariem noņem zīmes.

Ja numurs pozitīvs

Ja numurs nulle, tad, ņemot nulles moduli, rezultāts ir nulle.

Ja numurs negatīvs , tad ņemot šī skaitļa moduli, rezultāts ir pozitīvs skaitlis.

Piemēri:

| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .

Jums noteikti ir jautājums, kāpēc moduļa paplašināšanas formulā | a | = − a , ja    a< 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.

Lai atbildētu uz šo jautājumu, padomāsim, kā noņemt mīnusa zīmi no negatīva skaitļa? Ja negatīvu skaitli reizina ar –1, tas kļūst pozitīvs.

Piemēri:

| − 1 | = − (− 1) = 1

Nodarbības tēma:

« Koordinātas uz taisnas līnijas»

Nodarbības mērķis:

iepazīstināt skolēnus ar koordinātu līniju un negatīviem skaitļiem.

Nodarbības mērķi:

Apmācība: iepazīstināt skolēnus ar koordinātu līniju un negatīviem skaitļiem.

Attīstīt: loģiskās domāšanas attīstība, redzesloka paplašināšana.

Izglītojošie: izziņas interešu attīstība, informācijas kultūras izglītība.

Nodarbības plāns:

Organizatoriskais brīdis. Skolēnu un viņu gatavības stundai pārbaude.

Pamatzināšanu atjaunināšana. Mutiska studentu aptauja par apskatīto tēmu.

Jaunā materiāla skaidrojums.

4. Izpētītā materiāla konsolidācija.

5. Apkopojot. Kopsavilkums par nodarbībā apgūto. Studentu jautājumi.

6. Secinājumi. Nodarbības galveno punktu apkopošana. Zināšanu novērtēšana. Atzīmju likšana.

7. Mājasdarbs. Studentu patstāvīgais darbs ar apgūto materiālu.

Aprīkojums: krīts, dēlis, slaidi.

Izvērsts kontūru plāns

Skatuves nosaukums un saturs

Aktivitāte

Aktivitāte

studenti

Es iestudēju

Organizatoriskais brīdis. Sveicieni.

Žurnāla aizpildīšana.

sasveicinās ar klasi, klases vadītājs iedod prombūtnē esošo sarakstu.

Sasveicinies ar

skolotājs

II posms

Pamatzināšanu atjaunināšana.

Sengrieķu zinātnieks Pitagors teica: "Cipari valda pār pasauli." Mēs dzīvojam šajā skaitļu pasaulē, un skolas gados mēs mācāmies strādāt ar dažādiem skaitļiem.

1 Kādus skaitļus mēs jau zinām šodienas nodarbībai?

2 Kādas problēmas mums palīdz atrisināt šie skaitļi?

Šodien mēs pārejam uz mūsu mācību grāmatas "Racionālie skaitļi" otrās nodaļas izpēti, kur mēs paplašināsim savas zināšanas par skaitļiem, un pēc visas nodaļas "Racionālie skaitļi" izpētīšanas mēs uzzināsim, kā veikt visas darbības, kuras jūs zināt. ar tiem un sāciet ar tēmas koordinātu līniju.

1. dabiskās, parastās daĜas, decimāldaĜas

2.saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana, daļskaitļa atrašana no skaitļa un skaitļa no tā daļskaitļa atrašana, dažādu vienādojumu un uzdevumu risināšana

III posms

Jaunā materiāla skaidrojums.

Ņemsim taisni AB un sadalīsim to ar punktu O divos papildu staros - OA un OB. Mēs izvēlamies vienu nogriezni uz taisnas līnijas un par izcelsmi un virzienu ņemam punktu O.

Definīcijas:

Taisni, uz kuras ir izvēlēts atskaites punkts, vienības segments un virziens, sauc par koordinātu līniju.

Skaitli, kas parāda punkta pozīciju uz taisnes, sauc par šī punkta koordinātu.

Kā izveidot koordinātu līniju?

uzzīmējiet tiešo

iestatīt vienu segmentu

norāda virzienu

Koordinātu līniju var novilkt dažādos veidos: horizontāli, vertikāli un jebkurā citā leņķī pret horizontu, un tai ir sākums, bet nav beigu.

1. vingrinājums. Kura no šīm rindām nav koordinātas? (slaids)

Nozīmēsim koordinātu līniju, atzīmēsim koordinātu izcelsmi, vienības segmentu un noliksim punktus 1,2,3,4 un tā tālāk pa kreisi un pa labi.

Apskatīsim iegūto koordinātu līniju. Kāpēc šāda taisna līnija ir neērta?

Virzienu pa labi no sākuma sauc par pozitīvu, un virzienu uz taisnes norāda ar bultiņu. Skaitļus, kas atrodas pa labi no punkta O, sauc par pozitīviem. Negatīvie skaitļi atrodas pa kreisi no punkta O, un virzienu pa kreisi no punkta O sauc par negatīvu (negatīvais virziens nav norādīts). Ja koordinātu līnija atrodas vertikāli, tad augšā no sākuma - pozitīvi skaitļi, zemāk no sākuma - negatīvi. Negatīvie skaitļi tiek rakstīti ar “-” zīmi. Tajos rakstīts: “Mīnus viens”, “Mīnus divi”, “Mīnus trīs” utt. Skaitlis 0 - izcelsme nav ne pozitīva, ne negatīva. Tas atdala pozitīvos no negatīvajiem skaitļiem.

Vienādojumu risinājums un jēdziens "parāds" tirdzniecības aprēķinos noveda pie negatīvu skaitļu rašanās.

Negatīvie skaitļi parādījās daudz vēlāk nekā naturālie skaitļi un parastās daļskaitļi. Pirmā informācija par negatīvajiem skaitļiem ir atrodama ķīniešu matemātiķu vidū 2. gadsimtā pirms mūsu ēras. BC e. Pozitīvie skaitļi pēc tam tika interpretēti kā īpašums, bet negatīvie skaitļi - kā parāds, trūkums. Eiropā atzīšana notika tūkstoš gadus vēlāk, un pat tad ilgu laiku negatīvos skaitļus sauca par “viltus”, “iedomātiem” vai “absurdiem”. 17. gadsimtā negatīvie skaitļi saņēma vizuālu ģeometrisku attēlojumu uz skaitļu līnijas.

Varat arī sniegt piemērus koordinātu līnijai: termometrs, kalnu virsotņu un ieplaku salīdzinājums (jūras līmenis tiek ņemts par nulli), attālums kartē, lifta šahta, mājas, celtņi.

Padomājiet vai jūs zināt citus koordinātu līniju piemērus?

Uzdevumi.

2. uzdevums. Nosauciet punktu koordinātas.

3. uzdevums. Atzīmējiet punktus uz koordinātu līnijas

4. uzdevums . Novelciet horizontālu līniju un atzīmējiet uz tās punktu O. Atzīmējiet uz šīs līnijas punktus A, B, C, K, ja ir zināms, ka:

A ir 9 šūnas pa labi no O;

B ir 6,5 šūnas pa kreisi no O;

C ir 3½ atstarpes pa labi no O;

K ir 3 atstarpes pa kreisi no O .

Ierakstīts bāzes piezīmēs.

Klausieties, papildiniet.

Pabeidziet uzdevumu savā piezīmju grāmatiņā un pēc tam skaļi izskaidrojiet savas atbildes.

Uzzīmējiet, atzīmējiet viena segmenta koordinātu izcelsmi

Šāda taisne ir neērta ar to, ka vienāds skaitlis atbilst 2 taisnes punktiem.

Vēsture pirms mūsu ēras un mūsu ēras.

IV posms

Izpētītā materiāla konsolidācija.

1. Kas ir koordinātu līnija?

2. Kā izveidot koordinātu līniju?

1. Taisni ar izvēlētu atskaites punktu, vienības segmentu un virzienu sauc par koordinātu līniju

2) novelciet taisnu līniju

atzīmējiet atpakaļskaitīšanas sākumu

iestatīt vienu segmentu

norāda virzienu

V posms

Apkopojot

Ko jaunu mēs šodien uzzinājām?

Koordinātu līnija un negatīvie skaitļi.

VI posms

Zināšanu novērtēšana. Atzīmju likšana.

Mājasdarbs.

Uzstādiet jautājumus par apskatīto tēmu (ziniet atbildes uz tiem)

Vienkārši sakot, tie ir dārzeņi, kas vārīti ūdenī pēc īpašas receptes. Izskatīšu divus sākotnējos komponentus (dārzeņu salātus un ūdeni) un gatavo rezultātu - boršču. Ģeometriski to var attēlot kā taisnstūri, kurā viena puse apzīmē salātus, otra puse apzīmē ūdeni. Šo divu malu summa apzīmēs boršču. Šāda "boršča" taisnstūra diagonāle un laukums ir tīri matemātiski jēdzieni un nekad netiek izmantoti boršča receptēs.

Matemātikas mācību grāmatās neko neatradīsit par lineārā leņķa funkcijām. Bet bez tiem nevar būt matemātikas. Matemātikas likumi, tāpat kā dabas likumi, darbojas neatkarīgi no tā, vai mēs zinām, ka tie pastāv vai nē.

Lineāras leņķiskās funkcijas ir saskaitīšanas likumi. Skatieties, kā algebra pārvēršas ģeometrijā un ģeometrija trigonometrijā.

Vai var iztikt bez lineārām leņķa funkcijām? Var, jo matemātiķi joprojām iztiek bez tiem. Matemātiķu viltība slēpjas tajā, ka viņi mums vienmēr stāsta tikai par tām problēmām, kuras paši var atrisināt, un nekad nestāsta par tām problēmām, kuras nevar atrisināt. Skat. Ja mēs zinām saskaitīšanas un viena vārda rezultātu, mēs izmantojam atņemšanu, lai atrastu otru vārdu. Viss. Citas problēmas mēs nezinām un nespējam tās atrisināt. Ko darīt, ja zinām tikai saskaitīšanas rezultātu un nezinām abus terminus? Šajā gadījumā saskaitīšanas rezultāts ir jāsadala divos terminos, izmantojot lineāras leņķiskās funkcijas. Tālāk mēs paši izvēlamies, kāds var būt viens termins, un lineārās leņķiskās funkcijas parāda, kādam jābūt otrajam terminam, lai pievienošanas rezultāts būtu tieši tāds, kāds mums ir nepieciešams. Šādu terminu pāru var būt bezgalīgi daudz. Ikdienā mēs ļoti labi iztiekam, nesadalot summu, mums pietiek ar atņemšanu. Taču dabas likumu zinātniskajos pētījumos summas izvēršana terminos var būt ļoti noderīga.

Vēl viens saskaitīšanas likums, par kuru matemātiķiem nepatīk runāt (vēl viens viņu triks), pieprasa, lai terminiem būtu viena un tā pati mērvienība. Salātiem, ūdenim un borščam tās var būt svara, tilpuma, izmaksu vai mērvienības.

Attēlā parādīti divi matemātikas atšķirības līmeņi. Pirmais līmenis ir atšķirības skaitļu laukā, kas ir norādītas a, b, c. To dara matemātiķi. Otrais līmenis ir mērvienību laukuma atšķirības, kas parādītas kvadrātiekavās un apzīmētas ar burtu U. To dara fiziķi. Varam saprast trešo līmeni – aprakstīto objektu apjoma atšķirības. Dažādiem objektiem var būt vienāds to pašu mērvienību skaits. Cik tas ir svarīgi, mēs varam redzēt boršča trigonometrijas piemērā. Ja vienam un tam pašam apzīmējumam pievienojam apakšindeksus dažādu objektu mērvienībām, varam precīzi pateikt, kāds matemātiskais lielums raksturo konkrēto objektu un kā tas mainās laika gaitā vai saistībā ar mūsu darbībām. vēstule W Es atzīmēšu ūdeni ar burtu S Es atzīmēšu salātus ar burtu B- Borščs. Lūk, kā izskatītos boršča lineārā leņķa funkcijas.

Ja paņemsim kādu daļu ūdens un kādu daļu no salātiem, kopā tie pārtaps vienā boršča porcijā. Šeit es iesaku nedaudz atpūsties no boršča un atcerēties savu tālo bērnību. Atcerieties, kā mums mācīja salikt kopā zaķus un pīles? Vajadzēja noskaidrot, cik dzīvnieku izrādīsies. Ko tad mums mācīja darīt? Mums mācīja atdalīt vienības no skaitļiem un pievienot skaitļus. Jā, jebkuru numuru var pievienot jebkuram citam numuram. Tas ir tiešs ceļš uz mūsdienu matemātikas autismu - mēs nesaprotam, ko, nav skaidrs, kāpēc, un mēs ļoti slikti saprotam, kā tas ir saistīts ar realitāti, jo trīs atšķirības līmeņu dēļ matemātiķi darbojas tikai vienā. Pareizāk būs iemācīties pāriet no vienas mērvienības uz citu.

Un zaķus, un pīles, un mazos dzīvniekus var saskaitīt gabalos. Viena kopēja mērvienība dažādiem objektiem ļauj tos pievienot kopā. Šī ir problēmas bērnu versija. Apskatīsim līdzīgu problēmu pieaugušajiem. Ko jūs iegūstat, pievienojot zaķus un naudu? Šeit ir divi iespējamie risinājumi.

Pirmais variants. Nosakām zaķu tirgus vērtību un pievienojam pieejamajai skaidrai naudai. Mēs ieguvām mūsu bagātības kopējo vērtību naudas izteiksmē.

Otrais variants. Jūs varat pievienot zaķu skaitu mūsu banknošu skaitam. Kustamās mantas apjomu iegūsim gabalos.

Kā redzat, viens un tas pats pievienošanas likums ļauj iegūt dažādus rezultātus. Tas viss ir atkarīgs no tā, ko tieši mēs vēlamies uzzināt.

Bet atpakaļ pie mūsu boršča. Tagad mēs varam redzēt, kas notiks ar dažādām lineārā leņķa funkciju leņķa vērtībām.

Leņķis ir nulle. Mums ir salāti, bet nav ūdens. Mēs nevaram pagatavot boršču. Arī boršča daudzums ir nulle. Tas nebūt nenozīmē, ka nulle boršča ir vienāda ar nulli ūdens. Nulles borščs var būt arī pie nulles salātiem (taisnā leņķī).

Man personīgi šis ir galvenais matemātiskais pierādījums tam, ka . Nulle nemaina numuru, kad to pievieno. Tas ir tāpēc, ka pati pievienošana nav iespējama, ja ir tikai viens termins un trūkst otrā termina. Jūs varat ar to attiecināties, kā vēlaties, bet atcerieties - visas matemātiskās darbības ar nulli ir izdomājuši paši matemātiķi, tāpēc atmetiet savu loģiku un stulbi piebāžojiet matemātiķu izdomātās definīcijas: "dalīt ar nulli nav iespējams", "jebkurš skaitlis reizināts ar nulli vienāds ar nulli" , "aiz nulles punkta" un citas muļķības. Pietiek vienreiz atcerēties, ka nulle nav skaitlis, un jums nekad nebūs jautājumu, vai nulle ir naturāls skaitlis vai nē, jo šāds jautājums parasti zaudē nozīmi: kā var uzskatīt skaitli, kas nav skaitlis. . Tas ir tāpat kā jautāt, kādai krāsai piedēvēt neredzamu krāsu. Nulles pievienošana skaitlim ir kā krāsošana ar krāsu, kas neeksistē. Viņi pamāja ar sausu otu un visiem saka, ka "mēs esam krāsojuši". Bet es nedaudz novirzos.

Leņķis ir lielāks par nulli, bet mazāks par četrdesmit pieciem grādiem. Mums ir daudz salātu, bet maz ūdens. Rezultātā mēs iegūstam biezu boršču.

Leņķis ir četrdesmit pieci grādi. Mums ir vienāds ūdens un salātu daudzums. Šis ir ideāls borščs (lai pavāri man piedod, tā ir tikai matemātika).

Leņķis ir lielāks par četrdesmit pieciem grādiem, bet mazāks par deviņdesmit grādiem. Mums ir daudz ūdens un maz salātu. Iegūstiet šķidru boršču.

Pareizā leņķī. Mums ir ūdens. Par salātiem palikušas tikai atmiņas, jo turpinām mērīt leņķi no līnijas, kas kādreiz iezīmēja salātus. Mēs nevaram pagatavot boršču. Boršča daudzums ir nulle. Tādā gadījumā turiet un dzeriet ūdeni, kamēr tas ir pieejams)))

Šeit. Kaut kas tamlīdzīgs. Es varu šeit pastāstīt citus stāstus, kas šeit būs vairāk nekā piemēroti.

Abiem draugiem bija savas daļas kopējā biznesā. Pēc viena no viņiem slepkavības viss pārgāja uz otru.

Matemātikas parādīšanās uz mūsu planētas.

Visi šie stāsti tiek stāstīti matemātikas valodā, izmantojot lineāras leņķiskās funkcijas. Citreiz es jums parādīšu šo funkciju īsto vietu matemātikas struktūrā. Tikmēr atgriezīsimies pie boršča trigonometrijas un apsvērsim projekcijas.

Sestdien, 26.10.2019

Noskatījos interesantu video par Grandi rinda Viens mīnus viens plus viens mīnus viens - Numberphile. Matemātiķi melo. Viņi savā argumentācijā neveica vienlīdzības pārbaudi.

Tas sasaucas ar manu argumentāciju par .

Apskatīsim tuvāk pazīmes, kas liecina, ka matemātiķi mūs krāpj. Pašā sprieduma sākumā matemātiķi saka, ka secības summa ATKARA no tā, vai elementu skaits tajā ir pāra vai nav. Tas ir OBJEKTĪVI KONSTATĒTS FAKTS. Kas notiek tālāk?

Tālāk matemātiķi atņem secību no vienotības. Pie kā tas noved? Tas noved pie secības elementu skaita izmaiņām - pāra skaitlis mainās uz nepāra skaitli, nepāra skaitlis mainās uz pāra skaitli. Galu galā mēs esam pievienojuši secībai vienu elementu, kas vienāds ar vienu. Neskatoties uz visu ārējo līdzību, secība pirms transformācijas nav vienāda ar secību pēc transformācijas. Pat ja mēs runājam par bezgalīgu secību, mums jāatceras, ka bezgalīga secība ar nepāra elementu skaitu nav vienāda ar bezgalīgu secību ar pāra elementu skaitu.

Liekot vienādības zīmi starp divām sekvencēm, kas atšķiras pēc elementu skaita, matemātiķi apgalvo, ka secības summa NAV ATKARĪGA no elementu skaita secībā, kas ir pretrunā ar OBJEKTĪVI NOTEIKTA FAKTA. Papildu argumentācija par bezgalīgas secības summu ir nepatiesa, jo tā balstās uz nepatiesu vienādību.

Ja redzat, ka matemātiķi pierādīšanas gaitā liek iekavas, pārkārto matemātiskās izteiksmes elementus, kaut ko pievieno vai noņem, esiet ļoti uzmanīgi, visticamāk, viņi mēģina jūs maldināt. Tāpat kā kāršu burvēji, matemātiķi novērš jūsu uzmanību ar dažādām izteiksmes manipulācijām, lai galu galā sniegtu nepatiesu rezultātu. Ja kāršu triku nevar atkārtot, nezinot krāpšanās noslēpumu, tad matemātikā viss ir daudz vienkāršāk: par krāpšanos pat neko nenojauš, bet visu manipulāciju atkārtošana ar matemātisku izteiksmi ļauj pārliecināt citus par rezultāta pareizība, tāpat kā tad, kad jūs esat pārliecinājuši.

Klausītāju jautājums: un bezgalība (kā elementu skaits secībā S), vai tā ir pāra vai nepāra? Kā jūs varat mainīt paritāti kaut kam, kam nav paritātes?

Bezgalība matemātiķiem ir kā Debesu valstība priesteriem - neviens tur nav bijis, bet visi precīzi zina, kā tur viss darbojas))) Piekrītu, pēc nāves jums būs absolūti vienaldzīgs, vai esat nodzīvojis pāra vai nepāra dienu skaitu. , bet ... Pieskaitot tikai vienu dienu jūsu dzīves sākumā, mēs iegūsim pavisam citu cilvēku: viņa uzvārds, vārds un patronim ir pilnīgi vienādi, tikai dzimšanas datums ir pilnīgi atšķirīgs - viņš ir dzimis viens. dienu pirms tevis.

Un tagad pie lietas))) Pieņemsim, ka ierobežota secība, kurai ir paritāte, zaudē šo paritāti, dodoties uz bezgalību. Tad arī jebkuram bezgalīgas secības ierobežotam segmentam ir jāzaudē paritāte. Mēs to neievērojam. Tas, ka mēs nevaram droši pateikt, vai elementu skaits bezgalīgā secībā ir pāra vai nepāra, nebūt nenozīmē, ka paritāte ir zudusi. Paritāte, ja tāda pastāv, nevar bez pēdām pazust bezgalībā, kā kārts asāka piedurknē. Šim gadījumam ir ļoti laba līdzība.

Vai esat kādreiz jautājuši pulkstenī sēdošai dzeguzei, kurā virzienā griežas pulksteņa rādītājs? Viņai bultiņa griežas pretējā virzienā tam, ko mēs saucam par "pulksteņrādītāja virzienu". Tas var izklausīties paradoksāli, bet griešanās virziens ir atkarīgs tikai no tā, no kuras puses mēs novērojam rotāciju. Un tā, mums ir viens ritenis, kas griežas. Mēs nevaram pateikt, kurā virzienā notiek rotācija, jo mēs to varam novērot gan no vienas rotācijas plaknes puses, gan no otras. Mēs varam tikai liecināt par to, ka ir rotācija. Pilnīga analoģija ar bezgalīgas secības paritāti S.

Tagad pievienosim otru rotējošu riteni, kura griešanās plakne ir paralēla pirmā rotējošā riteņa griešanās plaknei. Mēs joprojām nevaram precīzi pateikt, kurā virzienā šie riteņi griežas, taču mēs varam pilnīgi droši pateikt, vai abi riteņi griežas vienā vai pretējos virzienos. Divu bezgalīgu secību salīdzināšana S un 1-S, ar matemātikas palīdzību parādīju, ka šīm sekvencēm ir atšķirīga paritāte un vienādības zīmes likšana starp tām ir kļūda. Personīgi es ticu matemātikai, es neuzticos matemātiķiem))) Starp citu, lai pilnībā izprastu bezgalīgu secību transformāciju ģeometriju, ir jāievieš jēdziens "vienlaicība". Tas būs jāuzzīmē.

Trešdiena, 2019. gada 7. augusts

Noslēdzot sarunu par , mums jāapsver bezgalīga kopa. Pieņemts, ka jēdziens "bezgalība" iedarbojas uz matemātiķiem kā boa konstriktors uz trusi. Bezgalības drebošās šausmas atņem matemātiķiem veselo saprātu. Šeit ir piemērs:

Sākotnējais avots atrodas. Alfa apzīmē reālu skaitli. Vienādības zīme augstākminētajos izteikumos norāda, ka bezgalībai pievienojot skaitli vai bezgalību, nekas nemainīsies, rezultāts būs tā pati bezgalība. Ja par piemēru ņemam bezgalīgu naturālu skaitļu kopu, tad aplūkotos piemērus var attēlot šādi:

Lai vizuāli pierādītu savu lietu, matemātiķi ir nākuši klajā ar daudzām un dažādām metodēm. Personīgi es uz visām šīm metodēm raugos kā uz šamaņu dejām ar tamburīniem. Būtībā tie visi nonāk pie tā, ka vai nu dažas telpas nav aizņemtas un tajās tiek iekārtoti jauni viesi, vai arī daži apmeklētāji tiek izmesti gaitenī, lai atbrīvotu vietu viesiem (ļoti cilvēciski). Es izklāstīju savu skatījumu uz šādiem lēmumiem fantastiska stāsta veidā par Blondīni. Uz ko balstās mans arguments? Bezgalīgi liela apmeklētāju skaita pārvietošana prasa bezgalīgi daudz laika. Kad būsim atbrīvojuši pirmo viesu istabu, kāds no apmeklētājiem vienmēr staigās pa gaiteni no savas istabas uz nākamo līdz pat laika beigām. Laika faktoru, protams, var stulbi ignorēt, bet šis jau būs no kategorijas "likums nav rakstīts muļķiem". Tas viss ir atkarīgs no tā, ko mēs darām: pielāgojam realitāti matemātiskām teorijām vai otrādi.

Kas ir "bezgalīga viesnīca"? Infinity Inn ir krogs, kurā vienmēr ir brīvu vietu skaits neatkarīgi no aizņemto istabu skaita. Ja visas telpas bezgalīgajā gaitenī "apmeklētājiem" ir aizņemtas, ir vēl viens bezgalīgs gaitenis ar telpām "viesiem". Tādu koridoru būs bezgalīgi daudz. Tajā pašā laikā "bezgalīgajai viesnīcai" ir bezgalīgs stāvu skaits bezgalīgi daudzās ēkās uz bezgalīgi daudzām planētām bezgalīgā skaitā visumu, ko radījis bezgalīgs skaits dievu. Savukārt matemātiķi nespēj attālināties no banālām ikdienas problēmām: Dievs-Allāhs-Buda vienmēr ir tikai viens, viesnīca ir viena, koridors ir tikai viens. Tāpēc matemātiķi mēģina žonglēt ar viesnīcu numuru sērijas numuriem, pārliecinot mūs, ka ir iespējams "izgrūstīt nestumto".

Es jums parādīšu sava argumentācijas loģiku, izmantojot bezgalīgas naturālu skaitļu kopas piemēru. Vispirms jums ir jāatbild uz ļoti vienkāršu jautājumu: cik naturālo skaitļu kopu pastāv - viens vai daudzi? Uz šo jautājumu nav pareizas atbildes, jo mēs paši izgudrojām skaitļus, dabā skaitļu nav. Jā, Daba lieliski prot skaitīt, taču šim nolūkam viņa izmanto citus matemātiskos rīkus, kas mums nav pazīstami. Kā domā Daba, pastāstīšu citreiz. Tā kā mēs izgudrojām skaitļus, mēs paši izlemsim, cik naturālo skaitļu kopu pastāv. Apsveriet abas iespējas, kā tas pienākas īstam zinātniekam.

Pirmais variants. "Lai mums tiek dota" viena naturālu skaitļu kopa, kas mierīgi atrodas plauktā. Mēs ņemam šo komplektu no plaukta. Tas tā, citu naturālu skaitļu plauktā nav palicis un nav kur ņemt. Mēs nevaram to pievienot šim komplektam, jo ​​mums tas jau ir. Ko darīt, ja jūs patiešām vēlaties? Nekādu problēmu. Varam paņemt vienību no jau paņemtā komplekta un atgriezt plauktā. Pēc tam varam paņemt vienību no plaukta un pievienot tam, kas mums ir palicis. Rezultātā mēs atkal iegūstam bezgalīgu naturālo skaitļu kopu. Visas mūsu manipulācijas varat uzrakstīt šādi:

Darbības esmu pierakstījis algebriskajā pierakstā un kopu teorijas pierakstā, detalizēti uzskaitot kopas elementus. Apakšindekss norāda, ka mums ir viena un vienīgā naturālo skaitļu kopa. Izrādās, ka naturālo skaitļu kopa paliks nemainīga tikai tad, ja no tās atņem vienu un saskaita to pašu.

Otrais variants. Mūsu plauktā ir daudz dažādu bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Uzsveru - ATŠĶIRĪGI, neskatoties uz to, ka praktiski nav atšķirami. Mēs ņemam vienu no šiem komplektiem. Tad mēs ņemam vienu no citas naturālo skaitļu kopas un pievienojam jau ņemtajai kopai. Mēs pat varam pievienot divas naturālo skaitļu kopas. Lūk, ko mēs iegūstam:

Apakšraksti "viens" un "divi" norāda, ka šie elementi piederēja dažādām kopām. Jā, ja bezgalīgai kopai pievienosit vienu, rezultāts būs arī bezgalīga kopa, taču tā nebūs tāda pati kā sākotnējā kopa. Ja vienai bezgalīgai kopai pievieno vēl vienu bezgalīgu kopu, rezultāts ir jauna bezgalīga kopa, kas sastāv no pirmo divu kopu elementiem.

Naturālo skaitļu kopa tiek izmantota skaitīšanai tāpat kā mērīšanas lineāls. Tagad iedomājieties, ka esat pievienojis lineālam vienu centimetru. Šī jau būs cita līnija, kas nav vienāda ar oriģinālu.

Jūs varat pieņemt vai nepieņemt manu argumentāciju - tā ir jūsu pašu darīšana. Bet, ja jūs kādreiz saskaraties ar matemātiskām problēmām, padomājiet par to, vai esat uz nepareizas spriešanas ceļa, ko ir nomīdījuši matemātiķu paaudzes. Galu galā, matemātikas stundas, pirmkārt, veido mūsos stabilu domāšanas stereotipu un tikai pēc tam pievieno mums prāta spējas (vai otrādi, atņem brīvu domāšanu).

pozg.ru

Svētdien, 2019. gada 4. augustā

Es rakstīju pēcrakstu rakstam par un ieraudzīju šo brīnišķīgo tekstu Vikipēdijā:

Mēs lasām: "...Babilonas matemātikas bagātīgajai teorētiskajai bāzei nebija holistiska rakstura, un tā tika samazināta līdz atšķirīgu paņēmienu kopumam, kam nebija kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes."

Oho! Cik mēs esam gudri un cik labi spējam saskatīt citu trūkumus. Vai mums ir vāji skatīties uz mūsdienu matemātiku tādā pašā kontekstā? Nedaudz pārfrāzējot iepriekš minēto tekstu, es personīgi saņēmu sekojošo:

Mūsdienu matemātikas bagātīgajai teorētiskajai bāzei nav holistiska rakstura, un tā ir reducēta uz atšķirīgu sadaļu kopumu, kam nav kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes.

Es neiešu tālu, lai apstiprinātu savus vārdus – tai ir valoda un konvencijas, kas atšķiras no daudzu citu matemātikas nozaru valodas un konvencijām. Vieniem un tiem pašiem nosaukumiem dažādās matemātikas nozarēs var būt dažādas nozīmes. Es gribu veltīt veselu publikāciju ciklu mūsdienu matemātikas acīmredzamākajām kļūdām. Uz drīzu redzēšanos.

Sestdien, 2019. gada 3. augustā

Kā kopu sadalīt apakškopās? Lai to izdarītu, jāievada jauna mērvienība, kas atrodas dažos atlasītās kopas elementos. Apsveriet piemēru.

Lai mums būtu daudz A sastāv no četriem cilvēkiem. Šis komplekts ir veidots uz "cilvēku" bāzes. Apzīmēsim šīs kopas elementus caur burtu a, apakšindekss ar skaitli norādīs katras personas kārtas numuru šajā komplektā. Ieviesīsim jaunu mērvienību "seksuālā pazīme" un apzīmēsim to ar burtu b. Tā kā seksuālās īpašības ir raksturīgas visiem cilvēkiem, mēs reizinām katru komplekta elementu A par dzimumu b. Ņemiet vērā, ka mūsu kopa "cilvēki" tagad ir kļuvusi par kopu "cilvēki ar dzimumu". Pēc tam mēs varam sadalīt seksuālās īpašības vīriešiem bm un sieviešu bw dzimuma īpašības. Tagad mēs varam izmantot matemātisko filtru: mēs izvēlamies vienu no šīm seksuālajām pazīmēm, nav svarīgi, kurš no tiem ir vīrietis vai sieviete. Ja tas ir cilvēkā, tad mēs to reizinām ar vienu, ja šādas zīmes nav, mēs to reizinām ar nulli. Un tad pielietojam parasto skolas matemātiku. Paskaties, kas noticis.

Pēc reizināšanas, samazinājumiem un pārkārtojumiem mēs ieguvām divas apakškopas: vīriešu apakškopu bm un sieviešu apakškopa bw. Apmēram tāpat, kā spriež matemātiķi, pielietojot kopu teoriju praksē. Bet viņi neļauj mums iedziļināties detaļās, bet sniedz mums gatavo rezultātu - "daudz cilvēku sastāv no vīriešu apakškopas un sieviešu apakškopas." Protams, jums var rasties jautājums, cik pareizi pielietota matemātika iepriekšminētajās transformācijās? Uzdrošinos apliecināt, ka patiesībā transformācijas tiek veiktas pareizi, pietiek zināt aritmētikas, Būla algebras un citu matemātikas sadaļu matemātisko pamatojumu. Kas tas ir? Citreiz par to pastāstīšu.

Kas attiecas uz superkopām, ir iespējams apvienot divas kopas vienā superkopā, izvēloties mērvienību, kas ir šo divu kopu elementos.

Kā redzat, mērvienības un parastā matemātika padara kopu teoriju par pagātni. Pazīme, ka ar kopu teoriju viss nav kārtībā, ir tas, ka matemātiķi ir nākuši klajā ar savu valodu un apzīmējumu kopu teorijai. Matemātiķi darīja to pašu, ko kādreiz darīja šamaņi. Tikai šamaņi prot "pareizi" pielietot savas "zināšanas". Šīs "zināšanas" viņi mums māca.

Nobeigumā es vēlos jums parādīt, kā matemātiķi manipulē
Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk par bruņurupuci un atpaliek no tā tūkstoš soļu. Laikā, kurā Ahillejs veic šo distanci, bruņurupucis rāpo simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs būs noskrējis simts soļus, bruņurupucis rāpos vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgels, Gilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja par Zenona aporijām. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās arī šobrīd, zinātnieku aprindām vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas ; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporas "]. Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, kas ir maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no vērtības uz. Šī pāreja nozīmē konstantu piemērošanu. Cik saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību pielietošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav pielietots Zenona aporijām. Mūsu ierastās loģikas pielietošana ieved mūs slazdā. Mēs, domāšanas inerces dēļ, piemērojam konstantas laika vienības abpusējai vērtībai. No fiziskā viedokļa izskatās, ka laiks palēninās līdz pilnīgai apstājai brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apdzīt bruņurupuci.

Ja pagriežam loģiku, pie kuras esam pieraduši, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais tā ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu "bezgalība", tad pareizi būtu teikt "Ahillejs bezgala ātri apsteigs bruņurupuci".

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nepārslēdzieties uz abpusējām vērtībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpo simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas ir vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, bet bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļus priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina izteikums par gaismas ātruma nepārvaramību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai "Ahillejs un bruņurupucis". Mums vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina šī problēma. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo katrā laika brīdī tā atrodas miera stāvoklī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī lidojošā bultiņa atpūšas dažādos telpas punktos, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu automašīnas kustības faktu, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču tās nevar izmantot attāluma noteikšanai. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienlaikus uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, taču no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs). Īpaši vēlos norādīt, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir divas dažādas lietas, kuras nevajadzētu sajaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.
Es parādīšu procesu ar piemēru. Mēs izvēlamies "sarkana cieta pūtīte" - tas ir mūsu "veselums". Tajā pašā laikā mēs redzam, ka šīs lietas ir ar loku, un ir bez loka. Pēc tam izvēlamies daļu no "veseluma" un veidojam komplektu "ar loku". Šādi šamaņi baro sevi, saistot savu kopu teoriju ar realitāti.

Tagad veiksim nelielu triku. Ņemsim "cieti pūtī ar banti" un apvienosim šos "veselus" pēc krāsas, izvēloties sarkanos elementus. Mēs saņēmām daudz "sarkano". Tagad kutelīgs jautājums: vai saņemtie komplekti "ar banti" un "sarkani" ir viens un tas pats komplekts vai divi dažādi komplekti? Atbildi zina tikai šamaņi. Precīzāk, viņi paši neko nezina, bet kā saka, tā arī ir.

Šis vienkāršais piemērs parāda, ka kopu teorija ir pilnīgi bezjēdzīga, kad runa ir par realitāti. Kāds ir noslēpums? Mēs izveidojām komplektu "sarkans ciets pimply ar banti". Veidošanās notika pēc četrām dažādām mērvienībām: krāsa (sarkana), stiprums (stingrs), raupjums (izciļņā), dekorācijas (ar banti). Tikai mērvienību kopums ļauj adekvāti aprakstīt reālus objektus matemātikas valodā. Lūk, kā tas izskatās.

Burts "a" ar dažādiem indeksiem apzīmē dažādas mērvienības. Iekavās ir izceltas mērvienības, saskaņā ar kurām sākotnējā posmā tiek piešķirts "veselais". Mērvienība, pēc kuras tiek veidota komplektācija, tiek izņemta no iekavām. Pēdējā rindā redzams gala rezultāts – komplekta elements. Kā redzat, ja kopas veidošanai izmantojam vienības, tad rezultāts nav atkarīgs no mūsu darbību secības. Un tā ir matemātika, nevis šamaņu dejas ar tamburīniem. Šamaņi var "intuitīvi" nonākt pie tāda paša rezultāta, argumentējot to ar "acīmredzamību", jo mērvienības nav iekļautas viņu "zinātniskajā" arsenālā.

Ar mērvienību palīdzību ir ļoti viegli izjaukt vienu vai apvienot vairākus komplektus vienā superkomplektā. Apskatīsim tuvāk šī procesa algebru.